Isomorphism, Homomorphism, Automorphism   동형 사상, 준 동형 사상, 자기 동형 사상

(2022-07-09)

Isomorphic, 동형, Automorphic, 자기 동형


1. 동형, 준동형, 사상 이란?

  ㅇ 동형 (Isomorphic)
     - 표현방법(외형)이 다를뿐, 2 이상의 수학적 대상물이 `구조상 같음` (동일시할 수 있음)

     * `똑같은 형식(iso + morphe)`를 의미하는 그리스어에서 유래

  ㅇ 준동형 (Homomorphism)
     - 동형의 일반화로써, 2 이상의 수학적 대상물이 `구조상 닮음`

     * `닮은 형식(homo + morphe)`를 의미하는 그리스어에서 유래

  ㅇ 사상 (Morphism 또는 Mapping, 寫像) 
     - 변환/사상에서, 대수 구조를 그대로 보존하는 경우를 말함
        . 즉, 변환/함수의 전후에도 `수학적 구조`를 그대로 보존함을 추상화한 것

     * `형식/형태/모양 (morphe)`를 의미하는 그리스어에서 유래

  ㅇ 따라서, 
     - 동형 사상 이란?
        . 두 대상물 간에 어떤 변환/사상/함수(규칙)이 존재할 때(발생할 때),
        . 원래 구조가 같게 보존되는 경우를 말함
     - 준동형 사상 이란?
        . 원래 구조가 닮게 보존되는 경우를 말함
        . (선형대수학에서, 벡터공간 간의 선형변환과 유사)

     * 수학적 대상물인 ,, 마다 그에따라 달리 정의됨


2. 준동형 사상, 동형 사상, 자기동형 사상의 비교

  ㅇ 준 동형 사상 (homomorphism)
     - 두 대상 간의 변환/사상/함수에서 대수적 구조를 보존하는 형태의 하나로써,
        . 단사 함수(Injection) 또는 전사 함수(Surjection)일 때를 말하며,
        . 굳이, 전단사 함수(1:1 대응)일 때까지를 포함시킬 필요가 없는 경우

     - 에서, 준 동형 사상
        .  (G,*)에서  (H,·)으로의 함수 f : G→H 일때,
        . f(a * b) = f(a)·f(b) 가 성립
           .. 두 이항연산인 좌변의 `*`과 우변의 `·`이,
           .. 두  G,H 사이에 대수적 구조를 그대로 보존

  ㅇ 동형 사상 (isomorphism)
     - 두 대상 간의 변환/사상/함수에서 대수적 구조를 보존하는 형태의 하나로써,
        . 전단사 함수(1:1 대응,Bijection)일 때를 말함

  ※ 결국,
     - 준동형사상은 동형사상의 일반화이고, 
     - 동형사상은 준동형사상의 특별한 형태로서, 
        . 동형사상은 준동형사상에서 전단사 함수(1:1 대응)인 특별한 경우를 말함

  ㅇ 자기 동형 사상 (automorphism)
     - 자신에서 자신으로의 동형 사상일 때를 말함
        . 일반적으로, 대칭(Symmetry)과 같은 의미



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