Eigenvalue Problem   고유값 문제, 고유치 문제

1. `Eigen` 이란?

  ㅇ 독일어 형용사로써, `고유의`,`특유의`,`특성의` 등의 뜻을 갖으며,
     - 고유 값, 고유 벡터는 행렬의 본성에 관한 정보를 가지고 있음을 뜻함


2. 고유값 문제 (Eigenvalue Problem)

  ㅇ [선형대수]

     - 고유값 문제이란?  =>  행렬의 고유값,고유벡터를 구하는 문제

     - (문제 제시)
        . 선형방정식 A x = λ x 를 만족시키는 상수 λ에 대해 0 이 아닌 벡터 x 를 찾는 것 
           .. 고유값(Eigenvalue) : 위 등식이 성립하게되는 λi 값
           .. 고유벡터(Eigenvector) : 위 고유값 λi에 대응하는 벡터 x
           .. 고유값 방정식(Eigenvalue Equation) : 위 선형방정식 A x = λ x 를 지칭
           .. 행렬 A : `시스템 행렬`, `선형변환(행렬변환) 연산자` 등으로 일컬어짐

     - (문제 제시 例)
        . 정방행렬 A 가 주어지고, 어떤 상수 λ 에 대해 위 등식을 만족하는 자명하지
          않는 해(즉, 0 이 아닌 벡터) x 를 구하라.
           .. 즉, A x 가 x 의 상수배가 되는 0 이 아닌 벡터 x 의 존재여부 및 그 해를 찾음

     - (풀이 순서)
        . 정방행렬 (A - λI) 를 비정칙행렬이 되게하는 모든 고유치 λ 를 구하고,
        . 각 λ에 대해 (A - λI) x = 0 를 만족하는 0 이 아닌 고유벡터 x 를 구하면 됨

     - (응용 例)
        . 행렬의 대각화 (행렬을 대각행렬로 변환)
        . 또한, 행렬의 대각화와는 별개로, 행렬의 본성에 대한 다양한 정보들을 줌
        . 선형 상 미분방정식의 해를 구하는데 이용되는 등


  ㅇ [미분방정식] 

     - 미분방정식 해에 대한 특성 정보를 찾고자 함                ☞ LTI 고유함수 고유값 참조
        . 고유 함수 : LTI시스템을 통과해도 기본성질이 변화하지않는 신호
           .. 例) 지수 함수, 정현 함수 등    
           .. 만일, 입력이 정현파이면, 주파수는 입력과 동일하나, 진폭과 위상은 달라짐
        . 고유값    : LTI시스템 출력은 특정값에서 고유함수의 복소 상수배가 됨

     - 연립 미분방정식 해를 푸는데 응용 됨
        . 편미분 방정식 해 ☞ Sturm-Liouville Problem 참조


3. 고유값 문제에서, 주요 관심 사항 例

  ㅇ 공간적인 문제의 경우,
     - 주로, 고유 벡터의 `방향에 만 관심이 있고`, 그 크기는 별 관심이 없음

  ㅇ 시간,주파수 문제의 경우,
     - 주로, 고유 함수의 주파수별로 시스템의 응답이 상수배하는 `이득에 만 관심이 있음`