Eigenfunction   고유 함수

1. 고유값, 고유 함수 이란?

  ㅇ 선형 연산자 L이 L{Ψi} = λiΨi를 만족시킬 때,
     - λi를 L의 `고유값(eigenvalue)`
     - Ψi를 λi에 대응하는 선형연산 L의 `고유함수(eigenfunction)` 이라고 함

  *  例)
     -  L{Ψ} = Ψ”와 같이 미분을 2번 작용시키는 선형계에서,
        .  (sin θ)'= cos θ, (cos θ)'= - sin θ 이므로,
        .  L{sin θ} = (sin θ)” = - sin θ
        .  여기서, 선형연산자 L 에 대해 -1 은 고유값, sin θ 는 고유함수
           .. 단지 진폭만 달라질 뿐 (-1), 
           .. 포함된 주파수 성분 (sin θ)은 같게됨


2. 고유 함수 (Eigenfunction)

  ㅇ 선형시스템 입출력에서  x(t) = est 및 x[n] = z 와 같은 입력 신호 함수를 말함
     - 이같은 고유함수가 입력이 될 때, 
     - 그 출력은 그 고유함수의 복소 상수배가 됨

  ㅇ 선형 시스템을 통과해도 기본성질이 변화하지않는 신호 = `고유 함수`

  ㅇ 고유 함수의 例  :  지수 함수, 정현 함수 등
     - 지수함수의 경우에,
        . 지수입력신호에 의한 선형시스템 출력은, 
           .. 지수는 같지만, 크기(상수배)는 달라짐
        . 즉, A eat -> B eat (단지 진폭만 변화할 뿐 같은 지수를 갖음)
           .. 대부분의 복소 지수 함수에서, 지수는 주파수 성분을 포함


3. 고유값 (Eigenvalue)

  ㅇ 위 같은 관계를 만족하는 si,zi의 특정값에 대해 복소 이득(진폭항)인 H(si),H(zi)
     - ☞ 공진주파수/고유주파수 참조


4. 고유벡터 및 고유함수 관계

  ㅇ `고유벡터`에 연속성을 부여한 것이 `고유함수`이며 두 용어는 사실상 같은 의미를 지님
     - 고유 벡터 = 고유 함수 = 고유 상태

  ㅇ (유사한 의미)
     - 벡터 ↔ 함수
     - 행렬 ↔ 선형 미분연산자

  ㅇ 통상, 고유값은, `물리적으로 측정 가능 관측량(물리량)`으로 정해짐