Linear, Linearity, Linear System   선형, 선형성, 선형 시스템, 선형계

1. 선형 (Linear) 이란?

  ※ 대단히 복잡한 실세계를, 매우 단순한 형태로 변환시켜,
     - 해석,설계 등을 쉽게함으로써, 과학 전 분야에 걸쳐 응용,적용됨

  ㅇ 선형(Linear)의 주요 의미 셋

     -  ①  기하학적 비례,모양,형태가 직선적임   (직선성)
        .  입력,출력 또는 변수 간의 관계가 직선 형태의 비례 관계(1차식)임
     -  ②  중첩의 원리를 따름   (비례성,가산성)
        .  `비례성` 및 `가산성`을 따르면서 입력에서 출력으로 가는 연산/함수/변환/매핑 
     -  ③  대수적 방정식이 선형방정식의 형식을 갖춤   (선형방정식 형태)
        .  a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b (ai: 상수, xi: 미지수 변수, b: 입력 변수)
             
  ㅇ 선형 시스템 (Linear System)
     - `중첩의 원리(Principle of Supersition)`를 만족하는 시스템

     * 이에 반하면 `비선형 시스템`이라고 함                ☞ 비선형시스템 참조


2. 중첩의 원리 (Principle of Supersition)

  ㅇ 가산성 (Additivity)
     - 시스템 입출력 관계에서, 여러 입력 신호가 합쳐질 때의 전체 결과가
       개별 입력 신호들의 결과들이 합쳐진 것과 같음

     * 독립성 이라고도함
        . 전체 효과는 각각의 원인에 의한 효과의 합
           ..  L[x1(t) + x2(t)] = L[x1(t)] + L[x2(t)]
        . 비가산성의 例) 다이오드 회로 등

  ㅇ 비례의 법칙 (Scaling, Propositional Law)
     - 출력 크기가 입력 크기에 `단순 비례적`인 관계를 갖음 

     * 동질성/동차성/비례성(Homogeneity)이라고도함
        . 원인이 α배 증가하면 효과도 α배로 증가함
           ..  L[αx(t)] = αL[x(t)]
        . 비동차성의 例) y(t) = a x2(t),  y(t) -1 = x(t) 등


3. 선형시스템의 입출력 특징

  ㅇ 입력,출력에서 `선형결합` 또는 `중첩의 원리` 특징을 보임
     - 시스템응답이 각 개별 입력 응답의 선형결합으로 나타남
        . 각 입력들의 합에 의한 출력이 각각의 입력에 의한 출력들의 합과 같음 
        . 입력의 선형결합을 출력의 선형결합으로 변환시킴

     - 즉,  L[a x1(t) + b x2(t)] = a L[x1(t)] + b L[x2(t)] = ay₁(t) + by₂(t)

     - 결국, 선형시스템에서는 신호의 분석과 합성이 용이해짐
        . 중첩의 원리에 의해, 각각의 입력 효과를 독립해서 취급하고, 후에 이들을 합하면 됨

  ㅇ 시간 영역 상에서, 입출력이 완전하게 묘사 가능
     - 선형시스템은 시간영역에서 임펄스 응답 h(t,τ)으로 완전하게 묘사될 수 있음
       
        . [참고] ☞ LTI시스템(선형시불변시스템) 참조

  ㅇ 주파수 영역 상에서, 입출력 묘사가 특징을 보임
     - 입력이 정현파 신호이면,
        . 주파수    : 입력과 동일 주파수의 정현파 출력
           .. 다른 주파수가 출력되면 비선형  ☞ 비선형 변조,혼변조 왜곡 참조

        . 진폭,위상 : 선형 동작에 의해 변화 가능
           .. 크기(진폭) 및 위상은 입력 정현파와는 달라질 수 있음
           .. 즉, 크기(진폭) 및 위상이 입력 주파수의 함수가 됨  ☞ 선형 왜곡/비선형 왜곡 참조


4. 선형화 (Linearization)

  ※ 대부분의 물리계(시스템)는 비선형시스템이나, 
     - 즉, 수학적으로 다루기 어렵고, 미분방정식 풀이가 복잡해짐
     - 따라서, 취급이 편리한 선형 모델(선형 근사,Linear Approximation)로써 표현,분석,설계 하게됨
        . 통상, 전체 시스템을 단순한 선형 모델로 근사화시키거나, 
        . 또는, 동작점 근처의 작은 변화량에 대해서 만 선형으로 근사화시키는 등의 방법을 취함 


5. [참고사항]

  ㅇ 선형적 형태의 식(式)
     - 선형 형태의 방정식           ☞ 선형방정식 참조
        . 그 계수(coefficient)가 상수 또는 독립변수 만의 함수로된 방정식
     - 선형 형태의 미분방정식       ☞ 선형 미분방정식, 비선형 미분방정식 참조
        . 미지함수(y) 및 그 도함수(y')들에 대한 1차식 형태로 구성됨

  ㅇ 선형적 작용 : 연산, 변환, 응답
     - 선형적으로 작용하는 연산     ☞ 선형 연산, 선형 연산자 참조
        . y(t) = L[x(t)] (L : x(t)에 대한 선형적 작용 연산자)
     - 공간 간의 선형적 변환/매핑   ☞ 선형 변환 참조
        . 공간 간에 선형 연산 성질을 보존하며 사상하는 변환
     - 선형시스템 입출력 응답 특성  ☞ 시스템 응답(전달함수,주파수응답,임펄스응답) 참조
     - 선형 연산 및 그 해의 거동    ☞ 고유값, 고유값 문제 참조

  ㅇ 선형적 형태 변환 
     - 선형적 또는 비선형적 변조    ☞ 선형변조(진폭변조), 비선형변조(각변조) 참조
        . 입력과 동일 주파수가 출력되거나, 아니면 다른 주파수가 출력되는지 여부
     - 선형성을 유지하는 부호화     ☞ 선형 부호 참조
        . 부호어 집합이 선형 벡터공간을 형성하는 부호

  ㅇ 선형적 연결 형태
     - 컴퓨터 자료구조              ☞ 선형 자료구조, 비선형 자료구조 참조
     - 토폴로지                     ☞ 선형 토폴로지

  ㅇ 선형적 동작 소자 
     - 수동 소자                    ☞ 선형 수동소자
     - 능동 소자
        . 선형 동작 영역            ☞ MOSFET의 선형영역 등
        . 선형성이 좋은 증폭기      ☞ 전력 증폭기
     * 선형적 전류 전압 관계를 보이는 동작영역 또는 소자