1. 행렬 곱셈의 열 또는 행 표현법
ㅇ 통상, 행렬 곱셈은 `열 관점 표현`을 많이 씀
- 만일, 행렬 A를 열벡터 {#\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n\end{bmatrix}#}로써 행렬 분할시키면,
[# A B = \begin{bmatrix}\mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\cdots&\mathbf{a}_n\end{bmatrix}B
= \mathbf{a}_1B+\mathbf{a}_2B+\cdots+\mathbf{a}_nB#]
- 만일, 행렬 B를 열벡터 {#\begin{bmatrix} \mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{b}_n\end{bmatrix}#}로써 행렬 분할시키면,
[# A B = A \begin{bmatrix}\mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{b}_n \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}A\mathbf{b}_1 & A\mathbf{b}_2 & \cdots & A\mathbf{b}_n \end{bmatrix} #]
ㅇ 그러나, 응용 관점에서, 두번째 행렬이 n x 1 행렬인 열벡터이면,
- 열 관점 및 행 관점 2개로 달리 표현 가능하며,
- 특히, n개 방정식과 n개 미지수를 갖는 선형연립방정식을 표현하기에 유용함
- (열 관점 표현) = 행렬 벡터 곱셈 ☞ 벡터 방정식 참조
. 행렬 곱셈이, `첫째 행렬의 열벡터`들이 `둘째 열벡터 원소`들과 선형 결합된 형태를 갖음
[# A \mathbf{x} = \begin{bmatrix}\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \cdots \\ x_n \end{bmatrix}
= \mathbf{a}_1 x_1 + \mathbf{a}_2 x_2 + \cdots + \mathbf{a}_n x_n #]
. 이를 `행렬 벡터 곱셈` 또는 `행렬 벡터 형태` 라고 함
- (행 관점 표현) ☞ 행렬 방정식 참조
. 행렬 곱셈이, 첫째 행렬의 각 행과 둘째 열벡터과의 내적으로 된 형태를 갖음
[# A \mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^T \\ \mathbf{a}_2^T \\ \vdots \\ \mathbf{a}_n^T \end{bmatrix} \mathbf{x}
= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} \\
a_{21}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} \\
\cdots \\
a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{nn}x_{n}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}
= \mathbf{b} #]
[# a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_1 \\
a_{21}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_2 \\
\cdots \\
a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{nn}x_{n} = b_n #]