Invertible Matrix, Nonsingular Matrix   가역 행렬, 정칙 행렬

1. 가역적 (Invertible)

  ㅇ 수학에서, 가역적이라 하면,                                            ☞ [일반] 가역성 참조
     - 역 함수, 역 행렬, 역원이 유일하게 존재하여,
     - 입출력 또는 곱셈 순서를 뒤바꿔도,
     - 원하는 유일한 것을 얻을 수 있음을 말함
 

2. [행렬]  가역 행렬(Invertible Matrix) = 정칙 행렬(Nonsingular Matrix)

  ㅇ 가역적  =>  역행렬이 유일 존재 함
     - 행렬 A이, 가역적(Invertible)이라면,
     - 그 역행렬 A-1이 유일하게 존재(uniquely existence) 함

  ㅇ 가역 행렬  =>  역 행렬이 존재하는 정방 행렬
     - 단, 정방행렬이 아니면 역행렬이 정의되지도 않음

  ※ 한편, 정방행렬 중에도 역행렬이 존재하지 않는 행렬은,
     - `특이행렬 = 비가역행렬 = 비정칙행렬` 이라고 함

  ㅇ 만일, CA = AC = I를 만족하는 n x n 행렬 C이 존재하면,
     - 이때의 C를 A의 역(Inverse)이라 하며, C = A-1라고 씀

  ㅇ 결국, 다음이 성립 함
     - AA-1 = A-1A = I


3. [행렬]  가역 행렬의 판단 조건

  ㅇ 가역적 및 비가역적 판단 조건  :  통상, 행렬식으로 판단함

  ㅇ A가 일 때,
     - 가역행렬이 될 필요충분조건 (가역적, Invertible)  :  (행렬식이, 0 이 아닐 때)
        .  det(A) = ad-bc ≠ 0 
     - 가역행렬이 아닐 조건 (비가역적, Non-invertible)  :  (행렬식이, 0 이 될 때)
        .  det(A) = ad-bc = 0 


4. [행렬]  가역 행렬의 존재성 및 유일성

  ㅇ A가 가역 행렬이면, 
     - A의 역행렬이 존재하고,
     - 이때의 A의 역행렬이 유일해야 됨

  ㅇ 즉, A가 가역 행렬이면, 
     - Ax = b는, b에 대해 유일한 해 x = A-1b를 갖음


5. [행렬]  가역 행렬의 성질

  ㅇ  (A-1)-1 = A
     - A가 가역이면, A-1도 가역

  ㅇ  (AT)-1 = (A-1)T
     - A가 가역이면, AT도 가역이고, 
     - AT의 역행렬 (AT)-1은, A-1의 전치행렬 (A-1)T이 됨

  ㅇ  (cA)-1 = 1/c A-1

  ㅇ  (AB)-1 = B-1A-1
     - 가역행렬들의 곱은 가역이고, 
     - 그 역행렬은 각 역행렬들을 역순으로 곱한 것

  ㅇ  (An)-1 = (A-1)n

  ㅇ  Am An = Am + n

  ㅇ  (Am)n = Am x n

  ※ [참고] ☞ 가역행렬 정리 참조