1. 푸리에 변환 성질
ㅇ 두 변환영역(시간,주파수)에서 관련된 연산의 기본 성질을 보존하는 것
2. 푸리에 변환 주요 특성
ㅇ 선형성 (Linearity)
- a x1(t) + b x2(t) ↔ a X1(f) + b X2(f)
ㅇ 쌍대성 (Duality) (때론, 이를 대칭성 이라고도 말함)
- 푸리에 변환 쌍 관계식에서, 차이나는 부분은 단지 지수 부호 임.
- 따라서, 어떤 변환 쌍으로부터 쌍대적인 다른 변환 쌍을 쉽게 유추할 수 있음
. X(t) ↔ x(-f)
- 例) 사각 펄스 파 ↔ sinc 함수
[# \Pi \left( \frac{t}{τ} \right) \quad \stackrel{\small{F}}{\longleftrightarrow} \quad
τ \, \mathrm{sinc} \, (fτ) \\
τ \, \mathrm{sinc} \, (τt) \quad \stackrel{\small{F}}{\longleftrightarrow} \quad
\Pi \left( \frac{f}{τ} \right) #]
ㅇ 시간 이동 (Time Shift)
- 시간영역에서 이동 t0은 주파수영역에서 복소지수 exp(-j2πft0)에 의한 곱과 같음
. x(t-t0) ↔ X(f) exp(-j2πft0)
ㅇ 주파수 이동 (이를 `변조`라고도 함) (Frequency Shift, Modulation)
- 시간영역에서 복소지수 exp(-j2πf0t)에 의한 곱은, 주파수영역에서 f0의 이동과 같음
. exp(j2πf0t) x(t) ↔ X(f-f0)
- 시간영역에서 정현파를 곱하면, 주파수 이동함
. cos(2πf0t) x(t) ↔ 1/2 [ X(f-f0) + X(f+f0) ]
. sin(2πf0t) x(t) ↔ 1/2j [ X(f-f0) - X(f+f0) ]
ㅇ 시간비율변화 (Time Scaling)
- x(at) ↔ 1/|a| X(f/a)
ㅇ 컨벌루션 (Convolution)
- x(t)*y(t) ↔ X(f)Y(f)
- x(t)y(t) ↔ X(f)*Y(f)
ㅇ 시간 미분
- d/dt x(t) ↔ j2πf X(f)
- dn/dtn x(t) ↔ (j2πf)n X(f)
ㅇ 주파수 미분
- t x(t) ↔ (j/2π) d/df X(f)
- tn x(t) ↔ (j/2π)n dn/dfn X(f)
ㅇ 시간 적분
[# \int^t_{-\infty} x(τ)τ \quad \leftrightarrow \quad
\frac{1}{j2πf}X(f) + \frac{1}{2}X(0)δ(f) #]
ㅇ 시간함수 x(t)가 복소수일 때,
푸리에 변환 관계는 부호 바뀐 공액복소수(Complex Conjugate)가 됨
- x*(t) ↔ X*(-f)
ㅇ 시간함수 x(t)가 실수일 때, 주파수영역에서 대칭성을 갖음
- X(-f) = X*(f) 또는 X(f) = X*(-f)
. 즉, 푸리에 변환된 함수는 헤르미트 대칭(Hermitian Symmetry : 공액 대칭)을 갖음
- 헤르미트 대칭 특징
. 진폭 및 위상
.. 진폭 => 우대칭 즉, |X(f)| = |X(-f)|
.. 위상 => 기대칭 즉, arg[X(f)] = - arg[X(-f)]
. 실수부 및 허수부
.. 실수부 Re{X(f)} => 우대칭 즉, Re{X(f)} = Re{X(-f)}
.. 허수부 Im{X(f)} => 기대칭 즉, Im{X(f)} = - Im{X(-f)}
* (의미) 양의 주파수의 X(f)를 알면, 음의 주파수의 X(f)도 알 수 있음
. 즉, 어느 한 쪽 만을 알아도 됨. (응용 例) ☞ SSB 변조 참조
ㅇ 레일리 에너지 정리(Rayleigh Energy Theorem) 또는 파스발 정리 (Parseval Theorem)
[# E = \int^{\infty}_{-\infty} |x(t)|^2dt = \int^{\infty}_{-\infty} |X(f)|^2df #]