Butterworth Filter, Butterworth Approximation   버터워스 필터, Butterworth 필터, Butterworth 근사

1. 다양한 필터 근사 구분

  ㅇ Butterworth 필터 : 통과대역이 평평함, 스커트 특성(차단성)은 둔함
  ㅇ Chebyshev 필터   : 통과대역에 만 Ripple 성분 있음, 스커트 특성은 날카로움
  ㅇ Bessel 필터      : 저지대역에서 보다 완만한 롤 오프 (경사짐) 특성
  ㅇ Elliptic 필터    : 통과대역 및 저지대역 모두에 Ripple (출렁임) 성분 있음

       


2. Butterworth 필터 근사 (Filter Approximation)

  ㅇ 일반적인 필터 근사를 위한 기초 함수
       
[# |H(jω)| = \frac{K}{\sqrt{1+ε^2f(ω^2)}} #]
  ㅇ 버터워스 필터 근사 함수 ({# f(ω^2) = ω^{2n} #})
       
[# |H(jω)| = \frac{K}{\sqrt{1+ε^2ω^{2n}}} #]
  ㅇ 정규화된 버터워스 필터 근사 함수 ({# K=1,ε=1,ω_c=1 #})
       
[# |H(jω)| = \frac{1}{\sqrt{1+ω^{2n}}} #]


3. Butterworth 필터함수의 특징

  ㅇ 최대 평탄 특성 (maximally flat magnitude response)
     - 통과대역(Passband)이 편평한 반면에, 스커트 특성은 둔함
         

     - 한편, 비록 진폭응답은 편평(균등,균일)하지만, 위상응답은 비선형적 임

  ㅇ 주파수가 커지면서, 단조 감소하는 함수
     - (저주파) ω = 0  → 1
     - (고주파) ω = ∞ → 0

  ㅇ 필터 차수 n
     - n이 높을수록, 천이대역이 좁아지며 천이가 급격해짐 
        . 즉, 이상적인 필터에 가까워짐
        

  ㅇ All Pole type (전 극점 형태)
     - 분모 다항식에 만 근이 있음 (all poles, no zeros)
        . 전달 함수에서, 영점(Zero) 없이 극점(Pole) 만을 포함하는 형태

  ㅇ 모든 극점(Pole)이 단위원 상에 있음

  ㅇ DC 이득
     -  |H(j0)| = 1


4. 버터워스 저역통과필터의 필터 차수별 전달함수 

  ㅇ H(s) = ±1/D(s)