Null Space, Solution Space   영 공간, 해 공간

1. 영 공간, 해 공간 비교 

  ㅇ 영 공간 (Null Space)	
     - A x = 0 을 만족하는 모든 x 벡터들의 집합
     - nullity(A) = n − rank(A)

  ㅇ 해 공간 (Solution Space)	
     - A x = b 를 만족하는 모든 x 벡터들의 집합	
     - 특수해 + (영 공간의 원소)

  ※ 영 공간은, 선형 연립방정식의 해 공간을 구성하는 부분 공간 임 (영 부분 공간)


2. 영 공간 (Null Space)

  ㅇ  A x = 0 을 만족하는 x
     - 선형 사상에서, 영 벡터(0)가 되도록 만드는, 미지 벡터(x)들로 이루어진, 벡터 부분공간

     - 여기서,
        .  A x = 0 : 제차 행렬방정식(제차 선형연립방정식)
           .. 선형 사상에 의해, 우변이 모두 영(0) 인 영벡터가 되는, 행렬방정식 형태
           .. 이때 x의 해 집합이 생성하는 벡터 부분공간이 영 공간임
        .  A : 시스템 행렬 (행렬 크기 : m x n)
        .  x : 변수 벡터, 미지 벡터 (공간 Rn의 원소)
        .  0 : 영 벡터 (공간 Rm의 원소)

  ㅇ 영 공간의 표기 또는 차원
     -  Null ( A )
     -  nullity ( A )
     -  Nul A = { x : x ∈ Rn, A x = 0 }


3. 영 공간의 例)

   
[# A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 7 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} #]
  ㅇ A x = A [1 1 -1]T = 0
     - A는, (첫 두 열의 합)이 (셋째 열)과 같음
  ㅇ x = [1 1 -1]T 은 Nul (A)에 속함


4. 영 공간의 등가 표현들

  ㅇ  `Nul A`
  ㅇ  `m x n 행렬 A 의 영공간`
  ㅇ  `A x = 0 을 만족하는 모든 해 집합`
  ㅇ  `A x = 0 을 만족하는 모든 해를 포함하는 부분공간`
  ㅇ  `{ x : x ∈ Rn, A x = 0 }`
  ㅇ  `선형변환 에 의해, Rm의 영 벡터로 보내지는 Rn의 모든 벡터 x 의 집합`

        

  ㅇ 한편, 영 공간을, 
     - 일반화된 선형변환에서는, 커널(Kernel) 이라고도 함


5. 영 공간의 성질

  ㅇ A가 가역행렬인 경우, 자명한 해 x = 0 만이 유일한 해가 됨

  ㅇ A가 비 가역행렬인 경우, A x = 0의 각각의 해 모두가 영 공간 Nul(A)에 속함