1. 특별한 원소들
ㅇ 집합 위에 연산이 정의되고,
- 이때 특정 연산 조건을 만족하는 어떤 원소가 존재할 때,
- 그러한 특별한 원소들을 일컫는 용어들
ㅇ 종류
- 항등원 (덧셈 영원, 곱셈 단위원)
- 역원 (덧셈 역원, 곱셈 가역원)
2. 항등원 (Identity)
ㅇ 연산을 해도 변치않는(원래 원소와 그대로 같아지는) 원소
ㅇ 집합 내 모든 원소 a가 어떤 연산 *에 대해 다음 조건을 만족하는 원소 e
- a * e = e * a = a
ㅇ 표기
- 보통, e(Einheit,독일어) 또는 i(Identity,영어) 또는 u 등으로 표기
ㅇ 例) 정수 집합 ℤ, 실수 집합 ℝ 에서,
- 덧셈(＋) 연산에 대한 항등원 : 0 (덧셈 항등원 e => `영원`)
- 곱셈(×) 연산에 대한 항등원 : 1 (곱셈 항등원 u => `단위원`)
3. 영원 (Zero)
ㅇ 덧셈(+) 연산에서의 항등원을 일컬음
- a + 0 = a
ㅇ (명칭/표기)
- `0`, `identity`, `zero element`, `additive identity` 등
4. 단위원 (Multiplicative Unity, 때론 Identity)
ㅇ 곱셈(x) 연산에서의 항등원을 일컬음
- a x u = u x a = a 또는 a x 1 = 1 x a = a
ㅇ (명칭/표기)
- `1`, `u`, `unity`, `unit element`, `multiplicative identity` 등
5. 역원 (Inverse, Inverse Element)
ㅇ 집합 내 원소 a에 연산 *을 취하면 항등원 e를 만드는 원소 x
- a * x = x * a = e
ㅇ 표기
- 덧셈에 대해서는 -a 로 표기 (때론, 이를 반원 negative element 라고도 함)
- 곱셈에 대해서는 a-1 로 표기
ㅇ 例) 정수 집합 ℤ 에서,
- 덧셈(＋) 연산에서 2의 역원 : -2
. (2) + (-2) = 0
- 곱셈(×) 연산에서 1,-1 이외의 모든 다른 원소에서 역원이 없음
. 1 x 1 = 1, (-1) x (-1) = 1
ㅇ 例) 실수 집합 ℝ 에서,
- 덧셈(＋) 연산에서 2의 역원 : -2
- 곱셈(×) 연산에서 0 이외의 모든 원소에서 역원이 존재함
. 1의 역원 1, 2의 역원 2-1=1/2, 3의 역원 3-1=1/3 ... 등
ㅇ [참고] ☞ 역 행렬, 역 함수, 가역적(Invertible) 등 참조
6. 단원 (Multiplicative Unit, 때론 Unit) 또는 가역원 (Invertible Element)
ㅇ 곱셈에 대해 역원을 갖을 수 있는 원소
- 0이 아닌 원소들이 모두 곱셈 역원을 갖지는 못하므로,
- 곱셈에 대해 역원을 갖을 수 있는 원소들을 가역원/단원 이라고 함
. a x a-1 = a-1 x a = u
ㅇ 例) 정수 집합 ℤ 에서,
- 정수 2 이상은, 곱셈에 대해 역원을 갖지 못하므로 가역원이 아님
. (즉, 2 a = 1, a = 0.5, 3 a = 1, a = 0.333... 등)
- 따라서, 정수 집합에서 가역원은 1,-1 뿐임
- 그러나, -1은 가역원이지만 단위원은 아님
. (즉, -1 x 1 ≠ 1 )