1. 다항 실험 (Multinomial Experiment)
ㅇ 이항 실험은, 성공 또는 실패로 나타나는 단지 2가지 가능한 결과 만을 갖음
ㅇ 다항 실험은, 한 시행에서, 2 이상의 가능한 결과들이 존재함
2. 다항 실험의 조건
ㅇ (고정성) 고정된 n번의 시행
ㅇ (독립성) 매 시행 마다, 서로간에 상호독립적(상호배반적) 임
ㅇ (범주형) 매 시행 결과는 k개 종류/범주 중 하나로 분류됨
ㅇ (일관성) 매 시행 마다 발생 확률이 동일
- n번 시행 동안 각 발생 확률은 변하지 않음
- 즉, 매 시행 마다 각 종류/범주 i로 발생하는 확률은 동일 : pi
- 이때, p1 + p2 + ... + pk = 1
3. 다항 분포 (다항 확률분포)
ㅇ 이항분포를 일반화시킨 확률분포
4. 다항 분포의 표현
ㅇ (확률질량함수)
- 확률변수 {# X_1,X_2,\cdots,X_k #}의 결합확률분포로써 다음과 같이 정의됨
[# P[X_1,X_2, \cdots ,X_k] = \begin{pmatrix} n \\ x_1,x_2,\cdots,x_k \end{pmatrix}
p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots p_k^{x_k} #]
. 여기서,
.. 다항 계수 : n개 물건 중 같은 것(유형)끼리 k개 그룹으로 구분하는 경우의 수
[# \begin{pmatrix} n \\ x_1,x_2,\cdots,x_k \end{pmatrix} =
\frac{n!}{x_1! x_2! \cdots x_k!} \qquad (x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n)#]
5. 다항 분포의 확률적 특징
ㅇ 표본 공간 : S = {s1,s2, ... , sk}
ㅇ 각 시행 결과의 발생확률 : P[si] = pi
- 시행 결과가 범주 i에 속할 확률
- p1 + p2 + ... + nk = 1
ㅇ 결과의 종류/범주 : k개 또는 k항
- 만일, k=1 이면 이항분포가 됨
ㅇ 표기 : X ~ pi
- 다항분포의 모수 : 확률 pi (i=1,2,...,k)
ㅇ 시행 횟수
- 확률변수 Xi : n번의 시행 중 시행 결과가 범주 i에 속하는 시행 횟수
. 즉, x1 + x2 + ... + xk = n
. 또는, n1 + n2 + ... + nk = n
ㅇ 확률변수 Xi의 기대치 : E[Xi] = n pi
ㅇ 확률변수 Xi의 분산 : V[Xi] = n pi (1 - pi)