Eigenvalue, Eigenvector, Eigenvalue Equation   고유치, 고유 값, 고유 벡터, 고유값 방정식

1. 고유값(Eigenvalue), 고유 벡터(Eigenvector) 이란?

  ㅇ 어원  :  `Eigen`
     - 독일어 형용사로써, `고유의` 또는 `특성의` 등의 뜻을 갖음

  ㅇ 의미  :  고유 값, 고유 벡터는, 
     - 행렬의 선형성에 관한 본질적 정보(특성)를 가지고 있음을 뜻함
 
  ※ [참고] ☞ 특성근/특성값 참조 (선형시스템의 고유한 특성 값)


2. 고유값, 고유 벡터, 고유값 방정식의 정의

  ㅇ 선형방정식 {# A \, \mathbf{x} = \lambda \, \mathbf{x} #} (A: n x n 행렬,λ: 스칼라)를 만족하는 0 이 아닌 벡터 x 가 존재하면,

     -  상수배(常數倍)하는 λ를,  `고유값(Eigenvalue)`이라하고, 
         . 고유값 λ : 크기 비율
     -  이 때의 벡터 x는,  그 고유값 λ에 대응하는 `고유 벡터(Eigenvector)`라고 함
         . 고유 벡터 x : 크기 비율 만 변할 뿐 방향은 변화하지 않음
         . 단, 영 벡터는 고유 벡터로써 고려하지 않음
     -  위 선형방정식 A x = λ x 를,  `고유값 방정식(Eigenvalue Equation)`라고 함
     -  행렬 A는,  n x n 정방행렬로써,
         . `시스템 행렬`, `선형변환(행렬변환) 연산자` 등으로 일컬어짐
     -  한편, 행렬 A의 고유값들의 집합을,  스펙트럼 이라고도 함


3. 고유값, 고유 벡터 例)

     


4. 기하학적 의미

  ㅇ 같은 방향 (평행)
     - A x와 x가 같은 방향인 경우를 찾고자 함
        . 원래의 벡터 x와 평행(같은 방향)을 유지함

  ㅇ 길이 늘림 (스칼라 곱셈)
     - A x = λ x 에서 주어진 정방행렬 A를 벡터 x에 곱하는 효과가, 
        . 스칼라 λ를 벡터 x에 곱하는 것과 같은 효과(상수배 길이 늘림)를 갖음

  ㅇ 변환 (Transformation)
     - TA(x) = A x라는 선형변환 TA이 고유 벡터 x에 가해질 때,
        . 벡터 x를 방향이 아닌 크기 만 λx로 바뀌게 함 
        . 벡터 x를 0이 아닌 평행인 벡터 λx로 대응시킴

  ㅇ 사상 (寫像)
     - 벡터 x를 원점을 지나는 직선 위에 사상(寫像)시킴
     


5. 물리적 의미

  ㅇ 선형시스템에서 고유값이 될 수 있는 물리량으로는, 
     - 그 선형성을 특징적으로 유지하는 해(解)로써,
        . 주파수,에너지 등일 수 있음


6. 고유값 필요충분조건

  ㅇ A x = λ x 에서 λ가 A의 고유값이 될 필요충분조건
     - 자명하지 않는 해(0 이 아닌 해)를 갖을 것
     - 행렬 (A - λI) 가 특이행렬(비정칙 행렬)이 될 것
        . 즉, det (A - λI) = 0
           .. λ가 위 특성방정식의 근(根)이 되는 것

  ※ 이로부터, 행렬 A가 주어질 때, 고유값 λ를 구할 수 있음


7. 고유값 문제

  ㅇ ① 행렬 A의 고유값을 구하는 것
     - 단계1 :  특성다항식 det (A - λI)을 계산 함
     - 단계2 :  특성방정식 det (A - λI) = 0을 풀어서 고유값 λ를 구함 

  ㅇ ② A x = λ x를 만족시키는 고유값 λ에 대해, 0이 아닌 고유 벡터를 찾는 것 
     - 단계1 :  행렬 (A - λI)를 비정칙행렬이 되게하는 모든 고유치 λ를 구함
     - 단계2 :  각 λ에 대해 (A - λI) x = 0를 만족하는 0 이 아닌 고유 벡터 x를 구함 


8. 고유 벡터 및 그들간의 일차독립성

  ㅇ 어떤 행렬 A의 고유 벡터 집합은, 
     - 그 행렬에 대한 행렬 작용이, 단순 스케일링 만으로 설명되는, 특별한 입력 벡터 집합 임
        . 즉, 고유 벡터들은, 선형 변환(행렬 변환) A에 의해, 
        . 같은 방향 또는 반대 방향으로 만 (크기 만 바뀌는) 변환이 가능

  ㅇ 각 고유값 λi에 대응하는 고유 벡터 xi들로 이루어진
     { xi, x2, ... , xn } 은 일차독립이 됨


9. 고유값,고유벡터의 응용, 특징

  ㅇ 정방행렬에 대해서만, 고유값,고유벡터가 정의됨
  ㅇ 통상, 특성방정식을 통해, 고유값,고유벡터를 구하게 됨  
  ㅇ 만일, 행렬을 고유값과 고유벡터로 분해하면, (☞ 고유값 분해)
     - 행렬의 성질에 대한 귀중한 통찰을 얻을 수 있음
  ㅇ 선형변환에서, 이의 기하학적 특징을 파악하는데 유용함
  ㅇ 행렬에서, 직교, 대각화와 대칭, 특이값 분해 등에 활용됨
  ㅇ 신호처리, 영상처리, 데이터 분석 (주성분분석,...) 등 분야에서 응용됨
  ㅇ 기계 구조물의 진동 및 동작 연구에서, 고유값과 고유벡터를 사용함

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