1. 스칼라 함수, 벡터 함수 이란?
ㅇ 스칼라(실수), 벡터를 함수값으로 갖는 함수 ☞ 스칼라장, 벡터장 참조
- 즉, 스칼라 값, 벡터 값을 출력하는 함수
ㅇ 주로, 공간적 성질을 나타내는 물리량의 수학적 표현에 적합
- 즉, 공간 내 각 점의 성질 등을 나타내는 물리량을 표현하는데 적합한, 스칼라 또는 벡터 함수
2. 스칼라 함수 (Scalar Function), 실수값 함수 (Real-valued Function)
ㅇ 어떤 점 P에서, 함수 결과 값이 하나의 스칼라로 주어지는 함수
- 여러 독립변수에 대응하는 하나의 함수 값이 스칼라가 됨
[# f = f(P) = f(x,y,z) #]
ㅇ 스칼라 함수의 정의역,치역
- 정의역 : 실수
- 치역 : 실수
ㅇ 공간 내의 각 점에 물리적으로, 스칼라를 대응시키는 함수 ☞ 스칼라장(Scalar Field) 참조
- 위치,시간,조건에 따라 그 성질(값)을 달리하는 물리량을 표현함
. 평면,곡면,공간 각 점에서 물리량을 표현한 스칼라값 함수가 스칼라 장 임
.. 例) 대기의 각 점에서 온도,밀도,압력 값을 대응시킴
3. 벡터 함수 (Vector Function), 벡터값 함수 (Vector-valued Function)
ㅇ 어떤 점 P에서, 함수 결과 값이 하나의 벡터로 주어지는 함수
- 여러 독립변수에 대응하는 하나의 함수 값이 벡터가 됨
- 벡터 함수의 일반적인 표현
[# \mathbf{v} = \mathbf{v}(P) = (\, v_1(P),v_2(P),v_3(P) \,) \\
\mathbf{v}(x,y,z) = (\, v_1(x,y,z),v_2(x,y,z),v_3(x,y,z) \,) #]
. {#v_1(x,y,z),v_2(x,y,z),v_3(x,y,z)#} : 성분 함수
- 벡터 함수의 매개변수(t) 표현
[# \mathbf{v}(t) = f(t)\mathbf{\hat i} + g(t)\mathbf{\hat j} + h(t)\mathbf{\hat k} #]
. {#f(t),g(t),h(t)#} : 성분 함수
- (성분 함수)
. 벡터값 함수에서, 각각의 성분 함수들은, 스칼라 함수임
. 실수값(스칼라)을 입력받아 벡터의 성분값을 출력하는 함수
ㅇ 벡터 함수의 정의역,치역
- 정의역 : 실수 (각 성분 함수들의 공통된 정의역이 벡터 함수의 정의역이됨)
- 치역 : 벡터
* 즉, 주어진 각 수들(정의역)에 대해 오직 하나의 벡터(치역)로 대응하는 함수
ㅇ 공간 내의 각 점에 물리적으로, 벡터를 대응시키는 함수
- 위치,시간,조건에 따라 그 성질(값)을 달리하는 물리량을 표현함
. 평면,곡면,공간 각 점에서 물리량을 표현한 벡터값 함수가 벡터 장 임
.. 例) 속도장 : 각 점에서 속도 벡터를 대응시킨 것 (유체흐름)
.. 例) 역장 : 각 점에서 힘 벡터를 대응시킨 것 (중력장,전기장,자기장)
.. 例) 기울기 벡터장 : 각 점에서 기울기 벡터를 대응시킨 것
* 공간에서, 곡선,곡면의 표현 및 물체의 운동을 나타내는데 유용함
. 시간에 따라 변화하는 위치,속도,가속도,힘 등을 나타낼 때 많이 쓰임
* 다변수 벡터 함수의 중요한 보기로, 벡터장을 들 수 있음 ☞ 벡터장(Vector Field) 참조
. (다변수 벡터 함수 : 독립변수가 여럿이고 함수값이 벡터인 함수)
4. 벡터 함수의 미분(도함수)
※ ☞ 벡터 함수 미분 참조
- 공간,평면 영역에서 움직이는 물체의 경로 및 운동(속도,가속도,회전 등) 표현 가능