1. 미분방정식 주요 용어
ㅇ 미분방정식의 표현 형태
- 양함수형 (explicit form)
. 독립변수와 종속변수가 분리된 형태
.. 例) y′= F(x,y)
- 음함수형 (implicit form)
. 독립변수와 종속변수가 분리되지 않는 형태
.. 例) F(x,y,y′) = c
ㅇ 계수 (order) 및 차수/멱수/멱지수 (degree)
- 계수(階數, order) : 미분방정식에서 최고계 도함수(미분)의 계수
. n계 미분방정식
.. F(x,y,y',...,y(n)) = 0 또는 y(n) = G(x,y,y',...,y(n-1))
. 1계 미분방정식 : 1계 도함수를 갖는 미분방정식
.. F(x,y,y') = 0 , y'+ xy =0
- 차수(次數, degree) : 미분방정식에서 최고계 도함수(미분)의 멱(冪)/지수
. 例) 2차 미분방정식 : 최고계 도함수에서 2차 멱 지수를 갖는 미분방정식
.. (y')2 + xy =0
* 例) {# \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^3 + 3y \left( \frac{dy}{dx} \right)^5
+ y^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 4x #} : 2계 3차 미분방정식
* 단, 공학에서,
. 1계 미분방정식, 2계 미분방정식으로 표현되는 시스템을 말할 때는,
. 관례적으로 1차 시스템, 2차 시스템 이라고 지칭함 ☞ 시스템 차수 참조
ㅇ 자율 미분방정식 (autonomous)
- 시간에 따라 변하지 않는 물리 법칙 등을 모델링하는데 사용
. 독립변수들이 겉으로 드러나 있지 않는 1계 미분방정식 형태
. 형태) dy/dt = f(y)
* 例)
. 지수적 증가 : dy/dt = ry (y의 변화율/증가율이 현재 y값에 비례적)
. 로지스틱 증가 : dy/dt = h(y)y (변화율/증가율 자체가 현재 y값에 따라 달라짐)
.. 생물의 증식과정, 경제의 발전과정 등을 근사적으로 설명하는 데 사용됨
.. 벨기에 수학자 P. F. 베르하르스트(Pierre François Verhulst)에 의해 1838년에 제안됨
.. 성장 속도는 현재 상태가 포화 상태에 멀수록 빨라지고, 가까울수록 늦어짐
. 임계 한계 : dy/dt = -r(1-y/T)y
ㅇ 임의 상수 (적분 상수 : Integration Constant)
- 변수 x,y에 의존하지 않는 고정된 실수
ㅇ 미분방정식 해
- 일반해 : 계수 만큼 독립적인 임의 상수(적분 상수)를 갖는 해
. 임의의 상수를 포함한 해 함수
- 특수해 : 일반해의 임의 상수에 특정 값을 대입하여 나온 해
. 임의의 상수에 주어진 조건을 대입해 만족하는 해 함수
- 특이해 : 일반해에 어떠한 임의 상수를 지정하여도 얻어질 수 없는 해
. 미분방정식으로부터 얻을 수 없는 해 함수