1. 미분 연산자 (Differential Operator)
ㅇ 미분 연산자
- 미분 연산을 나타내는 기호 (미분 연산 표기를 간략히 줄여줌)
. Dx = d/dx, Dy = dy/dx, Dny = dny/dxn
. 또는, s = d/dt, sk = dky/dtk
ㅇ 미분 연산자 다항식 (Differential Operator Polynomial)
- 미분 연산자에 의한 다항식
. P(D) = Dn + Dn-1 + ... + D1 + D0
. 例) P(D) = D2 + 3D - 1
⇒ P(D)y = (D2 + 3D - 1)y = D2y + 3Dy - y = d2y/dx2 + 3dy/dx - y
ㅇ 선형 미분 연산자 (Linear Differential Operator)
- 미분 연산자 그 자체가 선형성을 갖으며 함수 y(x)에 작용하는 선형 연산자임
. L(y) = andny/dxn + an-1dn-1y/dxn-1 + ... + a1(x)dy/dx + a0(x)y
.. 즉, 각 항이 상수 계수를 갖음
.. 단, 이와달리, 변수 계수를 갖으면 선형성 아님 (비선형성)
- 선형성은 다음과 같은 성질을 갖음
. L(c1y1+c2y2) = c1L(y1) + c2L(y2)
※ 한편,
- 여기까지는, 스칼라와 관련된 미분 연산자이고,
- 벡터와 관련된 미분 연산자는, ☞ 벡터 미분연산자 참조
2. 미분연산자에 의한 응용 상의 특징
ㅇ 복잡한 미분방정식을 좀 더 단순한 대수 방정식으로 변환시켜 풀이를 쉽게 해줌
3. 영화 연산자,절멸 연산자 (Annihilating Operator)
ㅇ 함수를 0 (零化,Annihilate) 으로 만들게하는 미분연산자
- 例 1) f(x) = 20 cos 2x
. (D2 + 4)(20 cos 2x) = (-80 cos 2x + 80 cos 2x) = 0
- 例 2) f(x) = e5x
. (D - 5)(e5x) = (5e5x - 5e5x) = 0
ㅇ 영화연산자를 쉽게 찾는 방법
- 상수 => (D)
- xn-1 => (Dn)
- eαx => (D - α)
- eαx + x eαx => (D - α)2
- eαx + xn-1 => Dn(D - α)
- sin αx, cos αx => (D2 + α2)
- eαx cos βx, eαx sin βx => [D2 - 2αD + (α2+β2)]