1. 미분방정식 해 (해 함수)
ㅇ 미분방정식에 대입하였을 때 항등적으로 만족시키는 함수
※ [참고사항]
- 미분방정식의 해를 구하는 방법 ☞ 미분방정식 풀이 참조
- 미분방정식의 해가 그리는 곡선 ☞ 해적분곡선, 방향장 참조
2. 미분방정식 해의 종류
ㅇ 자명해, 비자명해
- 자명해 (trivial solution) = 쓸모없는 해, 무용한 해
. 미분방정식을 항등적으로 만족시키는 자명한 해 ( y = 0 )
- 비 자명해 (nontrivial solution)
. 일반적으로 미분방정식을 푼다는 것은 비 자명해를 구하는 것
ㅇ 일반해, 보조해, 특수해, 특이해
- 일반해(완전해) (general solution)
. 미분방정식을 만족하는 모든 해
.. 특수해 yp 및 보조해 yh를 대수적으로 합한 보다 일반적인 해
.. 계수 n 만큼 독립적인 임의 상수(적분 상수 Cn)를 갖는 해
. 일반해 구성
.. 일반해 = 특수해(특별 적분해/강제응답) + 보조해(동차해/고유응답/과도응답)
.. y = yp + yh = yp + (C1y1 + ... + Cnyn)
. 시스템 응답 관점에서,
.. 일반해는 완전응답에 대응
- 보조해 / 여함수 / 동차해 / 제차해 (complementary solution,homogenous solution) yh
. `비 제차 미분방정식`을 `제차 미분방정식`으로 가정하여 구한 해
.. 임의의 상수(적분상수)를 포함하고 있는 해
.. yh = C1y1 + ... + Ckyk + ... + Cnyn
(n계 선형 미분방정식의 경우, yk 등은 기본 해의 집합)
. 영공간
.. A x = 0 을 만족하는 모든 해의 집합
. 시스템 응답 관점에서,
.. 동차해는 `과도 응답` 또는 `자유 응답`에 대응
. 例) 전형적인 미분방정식 형태 및 그 보조해
.. (1차 시스템) {# dφ(x)/dx + Cφ(x) = 0 \quad \longrightarrow \quad φ(x) = ae^{-Cx}#}
.. (파동방정식) {# \partial^2 φ(x)/\partial x^2 - 1/v^2 \,φ(x) = 0 \quad \longrightarrow \quad
φ(x) = A e^{+x/v} + B e^{-x/v} #}
.. {# \partial^2 φ(x)/\partial x^2 + k^2 \,φ(x) = 0 \quad \longrightarrow \quad
φ(x) = D e^{+jkx} + E e^{-jkx} #}
- 특수해 / 특성해 (prticular solution) yp
. 주어진 미분방정식을 만족시키는 개별적인 각각의 해
.. 일반해에 포함된 임의 상수에 구체적인 값을 지정하고, 유일하게 얻을 수 있는 해
.. 일반해의 임의 상수(적분 상수)에 특정 값을 대입하여 나온 해
. 임의의 상수에 주어진 조건을 대입해 만족하는 해 함수
. 미분방정식 및 초기조건을 동시에 모두 만족하는 해
.. 초기조건 y(x。) = y。에 의해 일반해로부터 얻어짐 (초기값문제)
. 주어진 문제의 유일한 해
. 시스템 응답 관점에서,
.. 특수해는 `강제 응답(입력 만에 의한 응답)`에 대응
- 특이해 (singular solution)
. 일반해로부터 얻어질 수 없는 특이한 해
. 일반해에 어떠한 임의 상수를 지정하여도 얻어질 수 없는 해
. 일반해로는 표현이 불가능
. 미분방정식으로부터 얻을 수 없는 해
3. 해의 표현 형태
ㅇ 양함수 해(explicit solution) : y = f(x)
ㅇ 음함수 해(Implicit solution) : f(x,y) = 0
ㅇ 매개변수 해 형태 : x = x(α), y = y(α)