1. 미분 방정식 (Differential Equation)
ㅇ 미지 함수의 도함수를 포함하는 방정식으로, 함수와 그 함수의 도함수 간의 관계를 나타냄
- 미지의 함수 y = f(x) 와 그 도함수 dny/dxn 간에 어떤 관계를 보여줌
※ 18세기 스위스 수학자 오일러(Leonhard Euler, 1701~1783)에 의해 개발되고 발전됨
2. 미분 방정식의 형태
ㅇ {# F(x,y,\frac{dy}{dx},\cdots,\frac{d^ny}{dx^n}) = 0 #} 또는 {# F(x,u,u',u'',\cdots,u^{(n)}) = 0 #}
- 독립변수 : x
- 종속변수 : y,u (즉, 미지 함수 : y=y(x),u=u(x) )
- 미지 함수의 도함수 : dy/dx,y',u',u(n)
- 계수 : n
ㅇ 例) {# \frac{d^2 y}{dx^2} + 8y = 0 #}, {# u'(x) = u(x) #}, {# u''(x) + 3u(x) = e^x #} 등
3. 미분 방정식의 역할 (모델링)
ㅇ 자연계 현상의 수학적 모델링(수학적 표현)은, 주로 미분방정식으로 표현 함
- 변화율이 계의 상태에 의존하는 비율로 일어나는 현상을 모델링함
ㅇ 여기서, 모델링 과정은,
- 물리적 현상에 대한 여러 정보를 이용하여,
- `미분방정식` 형태로 만들고,
- 그 `초기조건` 또는 `경계조건`을 찾아내는 과정
ㅇ 응용 : 물리계,전기계,금융 등 다방면의 수학적 모델링에 쓰임
- 例) 자유 낙하 방정식 : d2y/dt2 = g
- 例) 조화 진동 방정식 : m d2x/dt2 = - k x
- 例) 연속 복리 계산 : dM/dt = r M
* 대부분, 변수와 매개변수의 함수로서 표현되며, 계속 변화되는 변수의 변화율을 포함하므로,
. 이러한 미분방정식을, 변화율 방정식(rate equations)이라고도 칭함
4. 미분 방정식의 풀이 ☞ 미분방정식 풀이 참조
ㅇ 미분방정식을 만족하는, `미지 함수` = `독립변수의 연속 함수`(해,解) 를 구하는 것
ㅇ 미분방정식 해법은,
- 정형화되고 체계적이며 일반화된 단일 방법론은 없고,
- 미분방정식 형태별로 그에 맞는 해법이 개발되어 옴
5. 미분방정식의 해 ☞ 미분방정식 해 참조
ㅇ 일반 대수방정식과는 달리, 그 근이 숫자가 아닌 함수 (독립변수로 구성된 함수) 형태임
※ [주요 질문]
- 주어진 미분방정식에서 해가 존재하는가? (존재성)
- 해가 존재한다면, 그 해가 유일한가? (유일성)
- 해가 존재한다면, 어떤 구간에서 존재하는가? (존재 구간)
- 그 해를 구하는 방법은 무엇인가? (해법)
6. 미분방정식의 예측성
ㅇ 그 풀이된 해로 자연현상을 예측할 수 있음
- 운동을 예측하는 것 = 미분방정식 해를 구하는 것
7. 미분 방정식의 구분
※ ☞ 미분방정식 구분 참조
- 상 미분방정식, 편 미분방정식, 연립 미분방정식
- 선형 미분방정식, 비선형 미분방정식
- 제차 선형 미분방정식, 비제차 선형 미분방정식
- 1계 미분방정식, 2계 미분방정식(고계 미분방정식)
- 상수계수 미분방정식, 변수계수 미분방정식
- 특별한 이름을 갖는 미분방정식
8. 미분 방정식의 용어
※ ☞ 미분방정식 용어 참조
- 미분방정식 표현 형태 (양함수형, 음함수형)
- 계수(order) 및 차수/멱수/멱지수(degree)
- 임의 상수 (적분 상수) 등
9. 초기값 문제, 경계값 문제
※ ☞ 초기값 문제, 경계값 문제 참조
- 해가 일정한 조건을 만족시키도록 요구되는 미분방정식 풀이 문제