Damped Vibration   감쇠 진동

1. 감쇠 진동 (Damped Vibration) 또는 감쇠 자유 진동 (Damped Free Vibration)

  ㅇ 진동하며 에너지를 잃어가는 운동
     - 감쇠하며 진동하는 운동
        . 댐핑, 마찰력, 저항 등이 존재함


2. 진동 방정식의 형태  :  (진동의 운동방정식)

  ㅇ 진동 운동방정식 (통상, 2차 시스템으로 모델링)   ☞ 2차 진동방정식, 1 자유도 계 참조
      

     - m : 관성 질량 (mass)  (에너지 저장 가능)
     - c : 제동계수 (damping coefficient)  (에너지 소실)
     - k : 강성 (stiffness) (스프링의 경우에 탄성계수 또는 스프링 상수 spring constant)
     - x(t) : 변위 (displacement)
     - f(t) : 입력

  ㅇ 진동 운동방정식 형태의 종류
      - 비감쇠 자유 진동    :  D = 0, F = 0  =>  {# \ddot{x} + ω^2_n x = 0 #}
      - 감쇠 자유 진동 (★) :  F = 0         =>  {# \ddot{x} + 2ζω^2_n \dot{x} + ω^2_n x = 0#}
      - 비감쇠 강제 진동    :  D = 0         =>  {# \ddot{x} + ω^2_n x = F(t) #}
      - 감쇠 강제 진동      :  I,D,K,F 모든 항 존재  =>  {# \ddot{x} + 2ζω^2_n \dot{x}+ω^2_n x=F(t)#}

  ㅇ 진동 관련 힘의 종류
     - 관성력 (I) (Inertial Force) : 평형점을 지나치도록 하는 힘
     - 감쇠력,제동력 (D) (Damping Force) : 마찰력 처럼 운동을 방해하는 힘
     - 복원력 (K) (Restoring Force) : 계를 평형상태로 되돌리는 힘
     - 구동력,외부력,강제력,가진력 (F) (External Force) : 계 외부에서 가해진 지속적인 외력


3. 감쇠 자유 진동 방정식의 형태 (★)

  ※ 감쇠력(댐핑,마찰력,저항 등)이 작용하는 조화진동을 나타내는 미분방정식 형태

  ㅇ (역학계) 
     
[# mx'' + cx' + kx = 0 \\
        x'' + 2ζω_o + ω_o^2x = 0#]
     - m : 관성질량(Inertial Mass)
     - k : 탄성계수(Spring Constant)
     - c : 점성 제동계수(viscous damping coefficient)[N s/m]
     - ζ : 제동비,감쇠비,점성 감쇠인자(viscous damping ratio)
     - ωo : 고유주파수(natural frequency)
      

  ㅇ (전기계)
     - (직렬 RLC)   Li〃+ Ri'+ (1/C)i = 0
     - (병렬 RLC)   Cv〃+ (1/R)v'+ (1/L)v = 0
        . R : 저항, L : 인덕턴스, C : 컨덕턴스
      


4. 감쇠 자유 진동 방정식 내 주요 파라미터

  ㅇ 고유 주파수  :  ωo
     * (자유 진동 하에서, 진동하도록 내버려둘 때 진동하는 주파수)
     - (역학계)   √(k/m)
     - (전기계 - 직렬 RLC)   1/√LC
     - (전기계 - 병렬 RLC)   1/√LC

  ㅇ 감쇠 고유주파수  :  ωd = √(ωo2-α2)
     * (감쇠가 있는 시스템의 실제 진동 각주파수는, 자유 진동 하의 고유주파수보다 작아짐)
     - (역학계)   √[(k/m)-(c/2m)2]
     - (전기계 - 직렬 RLC)   √[(1/LC)-(R/2L)2]
     - (전기계 - 병렬 RLC)   √[(1/LC)-(1/2RC)2]

  ㅇ 감쇠율  :  α
     * (감쇠력에 직접적으로 관련된 절대적인 감쇠의 크기) (단위 : [1/s])
        . 시스템의 시간응답의 지수적 감소 속도를 결정함  :  e−αt 형태로 나타남
     - (역학계)   c/2m
     - (전기계 - 직렬 RLC)   R/2L
     - (전기계 - 병렬 RLC)   1/2RC

  ㅇ 제동계수  :  D = ξ = α/ωo
     * (감쇠계수를 무차원화/정규화한 한 비율) (단위 : 무차원)
        . 감쇠가 자연진동수에 비해 얼마나 큰지를 나타냄. 따라서, 상대적인 감쇠의 세기를 의미
     - (역학계)   c/(2√km)
     - (전기계 - 직렬 RLC)   (R/2)√(C/L)
     - (전기계 - 병렬 RLC)   


5. 감쇠 자유 진동 방정식의 풀이  :  특정방정식에 의함

  ㅇ 감쇠 자유 진동 방정식의 해를 찾기 위해. x = ert를 가정하면,
      
[# r^2 + 2\zeta\omega_n r + \omega_n^2 = 0 #]

  ㅇ 따라서 근은,
      
[# r = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1} #]

  ※ [참고]  ☞  2계 제차 미분방정식 풀이 참조
     - 상수계수를 갖는 2계 제차 선형 미분방정식의 풀이


6. 감쇠 자유 진동의 범주  ☞ 감쇠 운동 종류 참조

  ※ 미분방정식 해의 형태에 따라, 서로다른 거동을 나타냄

  ㅇ 미흡 제동 (Underdamped)  :  ζ < 1  (복소수 근)
      
[# r = −ζω_n ​± jω_n \sqrt{​1−ζ^2} \qquad ω_d​=ω_n \sqrt{​1−ζ^2} ​\\​
         x(t) = e^{-\zeta\omega_n t}\big(A\cos \omega_d t + B\sin \omega_d t\big) #]
  ㅇ 임계 제동 (Critically Damped)  :  ζ = 1  (중근)
      
[# r_1​ = r_2 ​= −ω_n​ \\
         x(t) = (A + Bt)e^{-\omega_n t} #]
  ㅇ 과제동 (Overdamped)  :  ζ > 1  (실수 근 2개)
      
[# r_1 = -\omega_n(\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}), \quad
         r_2 = -\omega_n(\zeta - \sqrt{\zeta^2 - 1}) \\
         x(t) = A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t} #]