1. 다중 적분 (Multiple Integral)
ㅇ 다변수 함수의 적분
ㅇ (용도)
- 부피,질량,질량중심 등을 구하는데 이용
- 또한, 2 이상의 확률변수가 수반된 확률계산 등에 이용
2. 다중 적분의 의미
※ 일변수 함수의 정적분을 다변수 함수의 이중 적분,삼중 적분으로 확장하는 개념
ㅇ 공간적 의미
- 일변수 함수의 정적분 => 부호가 있는 넓이
- 이변수 함수의 정적분 => 부호가 있는 부피
ㅇ 단일 적분 (Single Integral) : 일변수 함수의 적분
- 적분 영역 : `선`
. 일변수 함수이면, 직선을 따라 적분
. 다변수 함수이면, 곡선을 따라 적분
- 적분 계산 : 단일 변수에 대해 1번 적분하여 계산 함
. 일변수 함수이면, 단일 변수에 대해 직선을 따라 1번 적분하여 계산
. 다변수 함수이면, 다변수 함수에 대해 곡선을 따라 1번 적분하여 계산
- 적분 결과 : 폐곡선의 면적(넓이)
ㅇ 이중 적분 (Double Integral) : 이변수 함수의 적분 (2번 연달아 적분함)
- 적분 영역 : `면`
. 일변수 함수의 적분 영역이 단순 구간(선)인데,
. 이변수 함수의 적분(이중 적분)은 적분 영역이 어떤 모양을 이룬 영역(면)이 됨
.. 평면,곡면,일반적인 영역 등도 가능
- 적분 계산
. 각 변수에 대해 순서대로 연달아 두 번 적분하여 계산 함
- 적분 결과
. 폐곡면으로 둘러싸인 입체의 부피 (例, 땅 위에 지어진 건물의 부피)
ㅇ 삼중 적분 (Triple Integral) : 삼변수 함수의 적분 (3번 연달아 적분함)
- 적분 영역 : `입체`
- 적분 계산
. 각 변수에 대해 순서대로 연달아 세 번 적분하여 계산 함
- 적분 결과
. 직관적인 이해가 어려운 4 차원 량
3. 다변수 함수에서의 적분 구분
ㅇ 선 적분(Line Integral) : 단일 또는 다변수 함수에서 곡선을 따라 취하는 단일 적분
- 평면 또는 공간 상의 임의 곡선을 따라 적분
- 例) ∫ Ψ dr, ∫ F·r, ∫ F x r
ㅇ 면적 적분(Surface Integral) : 다변수 함수에서 표면,넓이에 대해 취하는 이중 적분
- 例) ∫ Ψ da, ∫ F·a, ∫ F x a
ㅇ 체적 적분(Volume Integral) : 다변수 함수에서 체적에 대해 취하는 삼중 적분
- 例) ∫ Ψ dv, ∫ F·v, ∫ F x v
※ 여기서, 다변수 함수에 의한 물리량 표현을 스칼라장(Ψ) 또는 벡터장(F) 이라고도 함