Frequency Response   주파수 응답

1. 주파수 응답 (Frequency Response) 이란?

  ㅇ 주파수에 따라 변화하는, 입출력 관계를 함수 형태로 보여줌
     -   H(jω) = |H(jω)| e∠H(jω)
        
        . |H(jω)|  :  진폭(이득) 응답 (Amplitude Response)
        . ∠H(jω)  :  위상 응답 (Phase Response)

  ※ [참고]
     - 시스템 입출력 관계를 함수 형태로 보여줌  ☞ 시스템 응답 참조
        . (시간응답, 주파수응답)  :  (비교) ☞ 아래 5.항 참조
        . (입펄스응답, 주파수응답, 전달함수응답)  : (비교) ☞ 전달함수 주파수응답 임펄스응답 비교 
           .. 특히, 주파수응답은, `시간영역의 임펄스응답`에 대한, `주파수영역으로의 푸리에변환`임
        . (고유응답, 강제응답)  :  (비교) ☞ 고유응답 강제응답 비교


2. 주파수 응답의 특징

  ㅇ (거동)
     - 입력 주파수 성분들 마다, 시스템,채널 등이 진폭(이득) 및 위상에 따라 다르게 반응하는 거동

  ㅇ (의존 관계)
     - 이득 및 위상 응답이, 주파수 변수인 f(주파수) 또는 ω(각주파수 = 2πf)에 의존하는 관계를,
     - 복소수 함수 형태로 나타냄

  ㅇ (정상상태에 국한됨)
     - 모두 가능하지 않고, 정상상태에 한정된 응답 임
        . 급격한 변화(계단함수 등) 없는 정현파를 인가했을때의 주파수에 따른 정상상태 응답 임


3. 주파수 응답의 수식(數式) 표현

  ㅇ (표현식)
     - 직각좌표 형식  :  
[# H(jω) = \operatorname{Re}H(jω) + j\operatorname{Im}H(jω) #]
     - 지수 형식  :  
[# H(jω) = |H(jω)|\;e^{jθ} #]
     - 극좌표 형식  :  
[# H(jω) = |H(jω)|\;\angle{θ} #]

  ㅇ (함수 형태)
     - 표현 형식이, 푸리에변환에 의한 복소수 표현 및 유리함수 형태를 갖음
        . 진폭,위상에 의한 구분 형식 : H(jω) = |H(jω)| e∠H(jω)
        . 분자,분모에 의한 구분 형식 : H(jω) = N(jω) / D(jω)

  ㅇ (입출력 관계)
     - 특히, LTI시스템에서, 주파수에 따른 입출력 특징을, 완벽하게 나타냄
        
        . 주파수영역  : 주파수응답 H(jω)
        . 시간영역    : 임펄스응답 h(t) ↔ 주파수응답 H(jω) = F { h(t) }


4. 주파수 응답의 도면(圖面) 표현
  
  ㅇ 보드 선도 (Bode Plot)
     - 주파수응답의 크기 및 위상을 분리하여, 반 대수 눈금(semi log scale)으로 그린 것
       
        . 크기 : log ω 에 대한 20 log |G(jω)| [dB]를 그린 것
        . 위상 : log ω 에 대한 ∠G(jω) [˚]를 그린 것

  ※ [참고]
     - 위의 보드 선도는, 주파수응답을 크기 및 위상 응답으로 구분시켜,
        . 그 대소 및 기울기 등 특징을 중요하게 취급하여, 
        . 직각좌표계 상에 그 각각을 대수 눈금으로 그리지만,
     - 아래의 선도들은, 복소평면 상에서,
        . ω가 변할때, 주파수응답의 궤적 특징을 주로 나타냄

  ㅇ 위상 이득 선도 (대수 크기 - 위상 선도)
     - 복소 평면 상의 직각좌표계에서, ω가 변할때, 위상에 대한 크기(이득)를 dB로 나타냄
       

  ㅇ 벡터 궤적 (Vector Locus, Vector Diagram)
     - 복소 평면 상의 직각좌표 형식으로, 주파수응답 H(jω)을 벡터로 나타내고,
        . ω를 0에서부터 점차 증가시켜, 그 크기(이득) 및 위상을 직각 좌표 궤적으로 그린 그래프
     - 복소주파수평면 상에서, 실수부 Re H(jω) 대 허수부 Im H(jω)로 그려짐

  ㅇ 극좌표 선도 (Polar Plot) 또는 나이퀴스트 선도 (Nyquist Plot)
     - 복소 평면 상의 극좌표 형식으로, 주파수응답 H(jω)을 벡터로 나타내고,
        . ω가 변할때, 그 크기(이득) 및 위상의 변화 형태를 극 좌표 궤적으로 그린 그래프
     - 복소주파수평면 상에서, 실수부 Re H(jω) 대 허수부 Im H(jω)로 그려짐
        

  ㅇ Nicols 도표 (Nichols Chart)
     - 개루프 전달함수의 주파수응답을, 복소 평면에 그린 다음, 
        . 이 선도가 일정 크기 궤적과 만나는 점으로부터, 폐루프 전달함수의 주파수응답을 읽어냄


5. 주파수응답 및 시간응답 간의 비교

  ㅇ 주파수응답  :  (입력이 가해지고 오랜시간 후의 정상상태에 주로 관심을 갖음)
     - 관심 사양 :  공진 첨두값, 공진 주파수, 대역폭, 이득여유, 위상여유 등

  ㅇ 시간응답    :  (입력이 인가된 직후의 과도현상에 관심을 갖음)
     - 관심 사양 :  상승시간, 최대 오버슈트, 정상상태 오차, 정착시간 등