Code Polynomial   부호 다항식

1. 부호어의 수학적 표현의 종류 : (벡터, 수열, 다항식)

    


2. 부호 다항식 (Code Polynomial)

  ㅇ (유용성)  :  (특히, 순회부호)
     - `부호어(Codeword)` 표현 수단 중 하나

     * 특히, `순회 부호`의 부호어 표현에 유용한 수단
        . 대수적 구조를 표현,파악하는데 매우 유용한 표현 방식 (다항식 형태에 의한 구조 표현)

  ㅇ (표현 형식)
      
[# f_n(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \cdots + c_{n-1}x^{n-1} + c_nx^n #]
     - [참고] ☞ 다항식 용어(미지수,차수,계수,선행계수 등) 참조

     - 例) 차수 2를 갖는 GF(2) 상의 부호 다항식 표현에서, 구성 가능한 다항식 종류의 개수  :  4개
        . {#x^2,\ 1+x^2,\ x+x^2,\ 1+x+x^2#}
        . (001), (101), (011), (111)

  ㅇ (주요 성질)  부호 다항식 간에 연산들은, 
     - ① 덧셈(뺄셈),곱셈,나눗셈을, 통상적인 4칙연산 처럼 수행 가능함  ☞ 다항식합, 다항식곱 참조
     - ② 결합법칙,교환법칙,분배법칙 성립함

  ㅇ (이론 근거)                                    ☞ 추상대수학, 체, 유한체 참조
     - 순회 부호는, 다항식 계수 {#c_n#}들이, 갈로아 유한체 GF(q)의 원소를 형성함
        . GF(q)[x] : 유한체 GF(q) 위에서의 다항식 환


3. 부호 다항식에 의한 부호어의 수학적 표기 例

  ㅇ 부호 간 연산(덧셈,곱셈) 표현 例)
     

  ㅇ (n-k) 만큼 zero padding 例)
     


4. 부호어의 비트 순환 이동(Cyclic Shifting)에 대한, (벡터,수열,다항식) 각각의 수학적 표기 

  ㅇ n 비트 순환부호에서, i 비트 순환 이동한 경우의, 수학적 표현

      

  ※ [참고]
     - 다항식 표현에서, x를 곱하는 것은 왼쪽으로 이동하는 것임
        . 즉, 수열에서 한 위치 이전으로 이동하는 것을 나타냄


5. i 비트 이동된 부호 다항식의 대수적 관계식

  ㅇ i번 순환이동된 다항식 c(i)(x)는,
     - c(x)에다가 xi를 곱한 xic(x)을 (xn+1)로 나누었을 때의 나머지와 같음 

  ㅇ 즉, 모듈러 연산 결과 와 같음

       

  ㅇ 결과적으로, 다음과 같음
     - 순환이동된 부호어 = 모듈러 연산 결과 = 다항식 나눗셈의 나머지(나눗셈 관계식)