1. 변분법, 변분 원리 이란?
ㅇ 변분법/변분학 (Calculus of Variations)
- 특정한 어떤 적분값이 최대 또는 최소가 되는 함수를 찾는 문제를 다룸
. 어떤 조건에 맞는 변수 값을 찾기 보다는,
. 적절한 함수나 곡선을 찾는 최대/최소 문제 또는 최적 문제
- 변분법은, 미적분학의 일종이지만,
. 미적분학과는 달리, 함수 그 자체를 변수로 하는 범함수(Functional)를 다룸
- 주로, 최대(maxima),최소(maxma)를 다루는 문제/이론 ☞ 최적 문제 참조
. 例) 두 점 사이에 최단 거리를 주는 경로를 결정하는 것 등 ☞ 페르마 원리 참조
ㅇ 변분 원리 (Variational principle)
- 여러 과학법칙을 변분법과 관련시켜, 일반 원리로써 공식화한 것
2. 변분법 문제
ㅇ 어떤 적분을 최소화 또는 최대화시키는 함수를 구하는 것
- 아래의 `범함수 : 적분 범함수(Integral Functional)`의 값을, 최소화/최대화하는 문제
[#I = \int^{x_2}_{x_1} F(x,y,y')dx#]
- 여기서,
. I는, 최소화/최대화시키고 싶은 량(量) ☞ 정류점 참조
. F는, 제시된 변수들(x,y,y')로써, 알려지는/주어지는 함수
. 목표는, 적분 I가 최소화/최대화되도록 하는 곡선 y = y(x)를 구하는 것
ㅇ 미분적분학,변분법 문제 비교
- 미분적분학에서 극값 문제
. 주로 몇개의 독립변수의 함수의 극값을 찾는 문제
- 변분법에서 극값 문제
. 범함수 자체 극값을 찾는 문제
ㅇ 미분방정식,변분법 비교
- 통상적인 미분방정식을 적분하여(적분 형식으로 변환하여), 등가적인 변분법 문제로 변환 가능
3. 변분법의 수치적 방법 종류
ㅇ 모멘트법 (MOM, Method of Moments)
ㅇ 유한요소법 (FEM, Finite Element Method)
4. 변분법 용어
ㅇ 범함수 (Functional)
- 함수를 변수로 갖는 함수
. 보통의 함수와는 달리, 독립변수가 숫자가 아닌 함수 즉, 함수의 함수
.. 함수에 '함수'를 대입해서, 그에따라 `결과값(함수값)`이 나오게됨
- 정의역이 함수들의 공간인 함수
. 통상의 함수는, 정의역이 실수의 집합에서 정의되나,
. 범함수는, 정의역이 함수의 집합에서 정의됨
- 즉, 함수 집합 위에서 정의되고 (정의역), 그 값이 실수 또는 복소수를 취함 (치역)
. 결국, 어떤 함수에 함수를 대입해서, 그에 따라 어떤 숫자 값이 나올 때
ㅇ 최대값(Maximum), 최소값(Minimum), 극값(Extremum)
- 최대값 : 함수 f가 최대가 되는 값
- 최소값 : 함수 f가 최소가 되는 값
- 극값 : 함수 f가 최대 또는 최소인 값
ㅇ 정상값/정류점/정상점 (Stationary Point)
- 어떤 점 c에서 f'(c) = 0 (접선이 수평인 점)
. 최대점,최소점,수평 변곡점을 말함
- 대개, 정류점에서 극값을 갖음