1. 해석학 (Analysis)
ㅇ 통상, 미분,적분을 공통으로 사용하고, 이를 엄밀하게 다루는 수학 분야를 총칭함
- 이산적이고 딱딱 끊어지는 듯한 수론과는 달리, 연속적이고 부드러운 대상을 탐구함
. 주로, 실수와 복소수의 함수들, 수열 및 급수, 미분 방정식 등 처럼
.. 연속적인 수학적 구조를 다룸
. 특히, 무한,극한,연속,수렴,균일 수렴,근사,수열과 급수 등에 대한 논의를,
.. `보다 엄밀하게` 다룸
- 간단히, 함수를 연구하는 학문을 일컫기도 함
ㅇ 주요 분야
- 실 해석학 : 실수 집합에서 정의된 함수의 성질을 연구
. 극한, 연속성, 미분, 적분 등을 다룸
- 복소변수 해석학 : 복소수 변수의 함수 및 그 도함수,계산등의 성질을 다룸
- 함수 해석학 : 함수의 성질을 다루는 수학의 한 분야
. 주로, 함수를 논리적이고 엄밀하게 다루고 있음
- 벡터 해석학 : 벡터를 변수로 갖는 함수에 대한 미적분학
- 텐서 해석학 : 벡터의 개념을 확장한 기하학적인 양을 다룸
- 측도론 : 집합론적 관점에서의 극한,적분 등을 다룸
. 주로, 확률론,통계학에서 중요 역할을 함
※ 대수학(Algebra),기하학(Geometry)과 함께 수학의 중요한 3개 분야로 다뤄짐
2. 해석적 함수 (Analytic Function)
ㅇ 해석적 (Analytic) : 어떤 함수를 해석적 이라고 한다면? 그 뜻은?
- ① 무한번 미분가능
. 함수 f가 어떤 점 x0에서 해석적이려면,
. 적어도 f가 x0에서 무한번 미분가능(도함수를 갖음)하여야 함
.. 그러나, 무한번 미분가능하다고 꼭 해석적인 것은 아님
- ② 국소적(어떤 점 근방에서)으로 멱급수로 수렴가능
. 함수 f(x)가 x0를 포함하는 열린구간에서 멱급수로 표현 가능할 때,
[# f(x) = \sum^{\infty}_{n=0} a_n(x-x_0)^n#]
. f(x)를 x0에서 해석적이라고 함
* 라그랑주(Joseph Louis Lagrange,1736~1813)의 `해석적`에 대한 제안
. 모든 함수를 무한번 미분가능하고, 멱급수로 전개 가능하다고 가정하였음
. 이러한 특징을 갖는 함수를 오늘날 해석 함수라고 불려지고 있음
ㅇ 해석 함수 (Analytic Function)
- 무한번 미분가능하고, 국소적으로 수렴하는 멱급수로 나타낼 수 있는 함수
ㅇ 전 해석함수,정 함수 (Entire Function)
- 정의역 전체에서 해석적인 함수
ㅇ 특이점 (Singular Point)
- 함수가 해석적이지 못한 점
3. 해석적 해 (Analytic Solution) = 닫힌 형식의 해 (Closed Form Solution)
ㅇ 해석적 풀이
- 이미 확립된 해법을 이용하여 해석적으로 정확한 해를 구하는 방법
ㅇ 만일, 어떤 미분방정식의 해가 해석적이라고 한다면,
- 그 미분방정식을 만족하는 `구체적인 함수`를 제시할 수 있어야 함
. 이때의 해를 닫힌 형태의 해(Closed-form solution)라고 함
* 닫힌 형식 (Closed Form) 이란?
. 삼각함수,지수함수,그 합성함수 등의 초등함수 또는 잘 알려진 함수로 표현할 수 있다는
의미를 갖는, 비 형식적인 용어
ㅇ 그러나, 대부분의 비선형 미분방정식이나 변수계수 미분방정식 풀이가 해석적 해를
얻을 수 없음
- 이 경우에, 컴퓨터에 의해 수치적인 결과 해 만을 구한다면,
. 이는 수치해석적 방법(Computational Method) 이라고 함