1. 물질파의 파동함수 ψ(r,t) 이란?
ㅇ 양자역학에서, 물질 입자(물질파) 파동의 위치 상태를, 확률적으로 표현한 파동함수
- 시간,공간에 따라 확률적으로 변하는 진폭 (확률 진폭)
ㅇ 원자를 묘사할 때는 이 파동함수를 오비탈(궤도함수)라고 함
2. 파동함수의 특징
ㅇ 파동함수는, 확률적으로 해석함
- 특정 시간,장소에서, 구한 파동함수의 `절대값 제곱`은,
. 그 순간,위치에서, 입자를 발견할 `확률적 크기` 임
* 즉, p(r,t) = | ψ(r,t) |2
. p : 확률밀도함수
. ψ : 물질파 파동함수 (확률적 진폭)
ㅇ 파동함수는, 복소수 함수 임
- ψ = A + jB
* 즉, 확률밀도는, 파동함수와 그 켤레 복소수의 곱으로 계산되어짐
. ψ ψ* = | ψ |2 = p
ㅇ 파동함수의 규격화(정규화) 조건
- 반드시 공간 어딘가에 존재해야 함
* 즉, 확률 = 1
[# \int^{\infty}_{-\infty} p\,dV = \int^{\infty}_{-\infty} |ψ|^2 dV
= \int^{\infty}_{-\infty} ψ ψ^* dV = 1 #]
3. 파동함수의 수학적 가정
ㅇ 시간과 공간의 함수
- 시간(t),공간(x,y,z : r)에 의존하는 복소수 함수
ㅇ 연속성
- ψ 및 그 미분은, 시공간적으로 연속(continuous), 일가함수/단일값(single valued) 임
ㅇ 유한성
- 공간 어느 점에서도 유한해야 함
- 즉, ∫ | ψ |2 dV 가 유한(finite) 함
ㅇ 무한대에서의 경계 조건
- 무한대 공간에서 영 값으로 수렴
- 즉, ψ는, 극한(x,y,z → ∞ )에서 0으로 수렴하도록 단조감소하는 함수이어야 함
※ 이러한 가정들이 만족되지 않으면, 물리적으로 실현될 수 없는 환경(조건)에 해당 됨
4. 파동함수의 물리/화학적 해석
ㅇ 파동함수 ψ(r,t)는, 입자의 운동 상태와 상호작용을 나타내는 중요한 매개체로써,
- 이를 통해 에너지 준위, 위치 확률 분포, 결합 구조 등 다양한 물리적/화학적 특성의 분석 가능
- 원자 내에서는, 전자의 운동 상태에 대한 정보로써,
. 3종류의 양자수(n,l,ml) 및 보어의 원자반지름 등의 정보를 알 수 있음
- 화학 결합에서는, 분자 궤도함수에서, 전자 밀도와 화학 결합 특성을 설명하는 등