1. 슈뢰딩거 파동방정식
ㅇ 양자역학에서 시간,공간에 의존적인 파동함수가 만족하는 편미분방정식
- 비 상대론적 양자역학의 근간이되는 파동방정식
※ Erwin Schrodinger (1887~1961 : 오스트리아 이론 물리학자)
- 1926년 고안 (1932년 노벨 물리학상 수상)
2. (시간 독립) 슈뢰딩거 방정식
ㅇ 시간 독립 1차원 슈뢰딩거 파동방정식 표현
[# \frac{d^2ψ(x)}{dx^2} + \frac{2m}{\hbar^2}[E-V(x)]ψ(x) = 0 \\
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2ψ(x)}{dx^2} + V(x)ψ(x) = Eψ(x) \\ \\
[K + V(x)]ψ(x) = Eψ(x) \qquad K = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} #]
- E : 입자 파동의 총 에너지
. 에너지 고유값 (입자가 가질 수 있는 특정 에너지 값)
- V : 위치에너지 (보통, 주어짐)
- K : 운동에너지 연산자
- ψ: 파동함수 (구해야 할 함수/해)
ㅇ (의미)
- 계가 시간에 무관한 정적 상태 하에서, 에너지 고유상태를 나타냄
- 고유값 문제로 해석되어, 특정 에너지 E에서의 파동함수 ψ를 구함
ㅇ 한편, 라플라시안(Lapalacian) 미분연산자에 의한 표현
[# -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2ψ + Vψ = Eψ #]
3. (시간 의존) 슈뢰딩거 방정식
ㅇ 시간 의존 1차원 슈뢰딩거 파동방정식 표현
[# i\hbar\frac{∂ψ(x,t)}{∂t} = Hψ(x,t) #]
4. 슈뢰딩거 방정식의 해밀토니안(Hamiltonian) 연산자 표현
ㅇ 에너지 연산자 표현
- 계의 운동에너지와 퍼텐셜에너지와의 합인 전체 에너지에 대응하는 연산자
[# Hψ = Eψ \\
\quad H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V
= -\frac{\hbar^2}{2m} \left(
\frac{∂^2}{∂x^2}+\frac{∂^2}{∂y^2}+\frac{∂^2}{∂z^2}
\right) + V(x,y,z) #]
. H : 파동함수에 수학적 연산을 수행하는 해밀톤 연산자
. ψ : 파동함수 (입자의 파동성을 나타냄)
. E : 입자의 총 에너지 고유값 (입자가 가질 수 있는 특정 에너지 값)
. {#-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2#} : 운동 에너지 연산자
. V : 위치 에너지 (퍼텐셜)
5. 슈뢰딩거 파동방정식의 풀이
ㅇ 풀이는,
- 양자화된 에너지(에너지 상태)와 파동함수를 구하는 것
ㅇ 해의 의미는,
- 위 파동방정식의 각 해는 주어진 파동함수와 연관된 에너지 상태를 나타냄
* 예를들면,
. 원자 내 전자의 운동을 설명하는, 오비탈 및 에너지 상태에 대한 정보를,
. 시간과 공간의 함수 형태로 얻을 수 있음 ☞ 파동 함수 참조