Angular Momentum   각 운동량

1. 운동량 이란?

  ㅇ 물체의 운동을 지속시키게하는, 또는 정지하기 어렵게 만드는 물리량


2. 운동량의 구분, 단위
  
  ㅇ (운동량의 구분)
     - 선 운동량 (Linear Momentum)
        . 물체의 직선운동을 지속시키게하는, 또는 정지하기 어렵게 만드는 물리량
        . {# \mathbf{p} = m\mathbf{v} #}
     - 각 운동량 (Angular Momentum)
        . 물체의 회전운동을 지속시키려는 운동량 
        . {# \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v} #}
 
  ㅇ (운동량의 단위)
     - 선 운동량 단위 : [kg·m/s]
     - 각 운동량 단위 : [kg·㎡/s] = [N·m·s] = [Joule·s]


3. 운동량의 시간변화율
    
  ㅇ 운동량의 시간 변화율 = 힘 또는 토오크

  ㅇ 선운동량의 시간변화율 = 힘
       
[# \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{F} #]

  ㅇ 각운동량의 시간 변화율 = 토오크 (힘의 모멘트)
       
[# \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \frac{d(\mathbf{r}\times\mathbf{p})}{dt}
               = \frac{d\mathbf{r}}{dt}\times\mathbf{p}+\mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{p}}{dt} \\
               \qquad = \mathbf{v}\times m\mathbf{v} + \mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{p}}{dt} 
               = \mathbf{v}\times m\mathbf{v} + \mathbf{r}\times m\mathbf{a} \\
               \qquad = 0 + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = τ #]


4. 평형 관계

  ※ 물체에 가해진 총 힘과 그 물체의 관성 반응 사이에 평형 관계

  ㅇ 모멘트 평형 (Moment Balance)
     - `질점의 각운동량의 시간변화율`은, 어떤 고정 원점에 적용된 `토오크들의 합`과 같음
       
        . 즉, 고정 원점 O에 가해지는 토크(회전운동 유발)에 상응하여 각운동량이 나타남

  ㅇ 힘 평형 (Force Balance)
     - `질점의 선운동량의 시간변화율`은, 적용된 `힘들의 총합`과 같음
       


5. 각 운동량의 구분

  ㅇ 궤도 각운동량 (회전 운동하는 입자의 각운동량)  L
     - (물리적 의미)
        . 점 O에 대한 입자의 선운동량의 모멘트
           .. 선운동량의 작용선 상에 있지 않은 평면상 한 점에서의 회전 효과
           .. 따라서, `각운동량`은 `운동량의 모멘트(moment of momentum)`라고도 함
           .. 각운동량이 어떤 점에 대한 힘의 모멘트(토크)와 유사하기 때문임
        . 기준점(원점) 선택에 의존적임

     - (수학적 표현)
        . 즉, `회전 반경 위치벡터 r`와 `질점의 선운동량 p(= mv)`의 벡터곱

     - (도식적 표현)
        
         . L : 각운동량
         . r : 위치벡터
         . x : 벡터곱(외적)
         . p=mv : 선운동량

  ㅇ 스핀 각운동량 (자전 운동하는 입자의 각운동량)
     - 축 상에서 자전하는 질점은 그 반경이 0 이므로, 스핀 각운동량은 0 
     * 한편, 양자역학에서는, 각운동량이 양자화되어, `고유 각운동량`이라하여 달리 해석됨


6. 질점계의 각운동량

  ㅇ 질점계 원점(O) 기준
     - 각운동량
       
        . 질점계 전체 원점에 대한 각운동량은 모든 질점의 각운동량의 합과 같음
     - 모멘트 평형
       

  ㅇ 질점계 질량중심(G) 기준
     - 각운동량
       
        . 질점계 질량중심 점에 대한 각운동량은 모든 질점의 각운동량의 합과 같음
     - 모멘트 평형
       


7. 강체의 각운동량

  ㅇ 강체의 회전축 주위의 각운동량 L = (관성모멘트 I) x (각속도 ω)
     
     -  r⊥ : 회전축에서 부피요소까지 거리, ρ : 질량 밀도

  ㅇ 한편, 각운동량과 각속도가 평행인 경우에 만 위 식이 성립
     - 다른 경우, 텐서라는 수학적 도구가 필요함
     - 즉, 각운동량과 각속도를 연결 짓는 관성 텐서를 정의할 필요 있음


8. [참고용어]

  ※ ☞ 각운동량 보존법칙
     - `입자 또는 입자계에 외부 토크가 작용하지 않는 한, 전체 각운동량은 일정하게 보존됨` 
        .  L = ∑i Li = 일정