Difference   차분

1. 차분 (Difference)

  ㅇ 임의 두 점에서의 함수 값들의 차이

  ㅇ 즉, 차분  :  {#f(x_i+Δx) - f(x_i)#} 또는 {#f_{k+1} - f_k#}

  ㅇ 용도  :  이산 데이터 분석, 수치 해석, 미분 근사 등에서 기초적인 연산 도구로 활용됨


2. 미분(도함수)의 차분 근사

  ㅇ 차분 근사 이란? 
     - 미분 연산이, 연속적인 함수에 대한 극한 연산이라면,
     - 차분 근사는, 이를 이산적인 방식으로 근사하는 방법임

        . (연속적) 미분(도함수)  :  
[# \frac{dy}{dx} = \lim_{Δx \to 0} 
                                    \frac{f(x_i+Δx)-f(x_i)}{Δx} #]
        . (이산적) 차분 근사     :  
[# \frac{dy}{dx} \approx \frac{Δy}{Δx} = \lim_{Δx \to 0} 
                                    \frac{f(x_i+Δx)-f(x_i)}{Δx} #]

  ※ 즉, 두 점 {#(x_i,f(x_i)),\ (x_i+Δx,f(x_i+Δx))#}을 지나는 직선의 기울기로써,
     - 미분을 근사시키는 것과 같음


3. 차분 근사 식의 주요 유형  :  (도함수의 근사값 계산 방식의 종류)

  ㅇ 전향 차분 근사 (forward divided difference approximation) 
     -  {# dy/dx \approx Δy/Δx = [ f(x_i+Δx) - f(x_i) ]/Δx #}

  ㅇ 후향 차분 근사 (backward divided difference approximation)
     -  {# dy/dx \approx Δy/Δx = [ f(x_i) - f(x_i-Δx) ]/Δx #}

  ㅇ 중앙 차분 근사 (central divided difference approximation)
     -  {# dy/dx \approx Δy/Δx = [ f(x_i+Δx) - f(x_i-Δx) ]/2Δx #}

  ※ 위 각 식은, 테일러 급수 전개를 통해 유도 가능 함


4. 테일러 급수 유도  :  (중앙 차분 근사 경우)

  ㅇ {#f(x_i+Δx),f(x_i-Δx)#}를 각각 테일러급수 전개하면,
      
[# f(x_i+Δx) = f(x_i) + f'(x_i)Δx + \frac{f''(x_i)}{2}(Δx)^2 + \cdots \\
         f(x_i-Δx) = f(x_i) - f'(x_i)Δx + \frac{f''(x_i)}{2}(Δx)^2 - \cdots #]
  ㅇ 이를 이용해 중앙 차분 근사를 유도하면,
      
[# \frac{f(x_i+Δx) - f(x_i-Δx)}{2Δx} = f'(x_i) + O((Δx)^2)#]