1. (군 보다 약한 공리를 갖는 군들)
ㅇ 반 군 (半群, Semi Group) : 결합적 이항연산을 갖는 집합
- 하나의 이항연산에 대해, `닫힘성` 및 `결합법칙` 만이 성립
. 例) `이항연산`,`결합법칙`이라는 두 요소로 이루어짐
.. 자연수의 덧셈 반군 : (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3)
.. 행렬의 곱셈 반군 : (A * B) * C = A * (B * C)
ㅇ 모노이드 (Monoid) : 이항연산에 대해 항등원을 갖는 반군
- 반군에 추가적으로 항등원도 갖는 경우
. 例) `0`과 자연수 전체의 집합
.. 자연수는 덧셈에 대해 반군 구조(이항연산 닫힘성,결합법칙 성립)이며,
.. 이에 항등원 0도 갖게되면, 모노이드가 됨
ㅇ 한편, 모노이드에 추가적으로, 임의 원소의 역원까지도 갖으면, => 군(群)이 됨
* 즉, 반군 > 모노이드 > 군
※ (요약)
- 반군 (닫힘성,결합법칙)
- 모노이드 (닫힘성,결합법칙,항등원)
- 군 (닫힘성,결합법칙,항등원,역원)
- 가환군 (닫힘성,결합법칙,항등원,역원,교환법칙)
2. 군의 종류
ㅇ 유한 군, 무한 군
- 유한 군 (Finite Group) : 군의 원소 개수가 유한
- 무한 군 (Infinite Group) : 군의 원소 개수가 무한
. 例) (Z,+),(Q,·) 처럼 수체계로 만들어지는 군은 모두 무한 군 임
* 군의 원소의 개수 => 위수 (Order)
ㅇ 순환 군 (Cyclic Group)
- 한 원소로 군의 모든 원소를 나타낼 수 있는 군
. 즉, G = { an | n ∈ ℤ }이 되는 원소 a가 존재하는 군
.. 이 때 원소 a를 생성원(generator) 이라고 함
- 표기
. 원소 a에 의해 생성되는 순환군 G = < a >
. 위수 n인 순환군 Cn
* 순환군은 군 중에서 가장 간단한 구조를 갖음
ㅇ 가환 군 (Communtative Group) 또는 아벨 군 (Abelian Group)
- 군에 관한 4가지 공리에다가 추가적으로,
- 교환법칙도 만족하는 군
ㅇ 덧셈 군 (Additive Group)
- 군의 이항 연산이, 덧셈 연산인 군으로써, 가환 조건을 만족하는 군
. 덧셈 군 (G,+)의 항등원은, 0 로 나타냄
- 특히, 체 또는 환의 비영 원소들이 모여 곱셈에 대해 군을 이루는 경우
. 항등원 존재 : 1
. 역원 존재 : a x a-1 = 1
. 결합법칙 성립 : a x (b x c) = (a x b) x c
. 닫힘성 : 곱셈군의 원소들끼리 곱하면 그 결과도 곱셈군의 원소가 됨
ㅇ 곱셈 군 (Multiplicative)
- 군의 이항 연산이, 곱셈 연산인 군
. 곱셈 군 (G,*)의 항등원은, 1 로 나타냄
ㅇ 부분 군 (Subgroup)
- 군 G의 부분집합으로, 군 G와 같은 연산 구조를 갖는 군
ㅇ 대칭 군 (Symmetric Group)
- n개 원소 집합의 모든 치환으로 만들어지는 원소를 집합으로 갖는 군