Eigenvalue, Eigenvector, Eigenvalue Equation   고유치, 고유 값, 고유 벡터, 고유값 방정식


   

Chracteristic Vaue, 특성 값, Chracteristic Root, 특성 근

     (수정일:2017-05-10)

  [고유값문제]   
  1. 고유값(Eigenvalue) 및 고유 벡터(Eigenvector)
    1. `Eigen` 이란?
      1. 독일어 형용사로써, `고유의` 또는 `특성의` 등의 뜻을 갖으며,
        1. 고유 값, 고유 벡터행렬선형성에 관한 본질적 정보를 가지고 있음을 뜻함
    2. 선형방정식 A x = λ x (A: n x n 행렬,λ: 스칼라)를 만족하는 0 이 아닌 벡터 x 가 존재하면,
      1. 상수배(常數倍)하는 λ를, `고유값(Eigenvalue)`이라하고,
      2. 이 때의 벡터 x는, 고유값 λ에 대응하는 `고유벡터(Eigenvector)`라고 함
      3. 선형방정식 A x = λ x 를, `고유값 방정식(Eigenvalue Equation)`라고 함
      4. 행렬 A는, `시스템 행렬`, `선형변환(행렬변환) 연산자` 등으로 일컬어짐
      5. 한편, 행렬 A의 고유값들의 집합스펙트럼 이라고도 함
  2. 고유값, 고유 벡터 例)

  3. 기하학적 의미
    1. 길이 늘림 (스칼라 곱셈)
      1. A x = λ x 에서 주어진 정방행렬 A를 벡터 x에 곱하는 효과가,
        1. 스칼라 λ를 벡터 x에 곱하는 것과 같은 효과(상수배 길이 늘림)를 갖음
        2. 원래의 벡터 x와 평행을 유지함
    2. 변환 (Transformation)
      1. TA(x) = A x라는 선형변환 TA이 고유벡터 x에 가해질 때,
        1. 벡터 x를 방향이 아닌 크기 만 λx로 바뀌게 함
        2. 벡터 x를 0이 아닌 평행인 벡터 λx로 대응시킴
    3. 사상 (寫像)
      1. 벡터 x를 원점을 지나는 직선 위에 사상(寫像)시킴
  4. 물리적 의미
    1. 선형시스템에서 고유값이 될 수 있는 물리량으로는,
      1. 선형성을 특징적으로 유지하는 해(解)로써,
        1. 주파수,에너지 등일 수 있음
  5. 고유값 필요충분조건
    1. A x = λ x 에서 λ가 A의 고유값이 될 필요충분조건
      1. 자명하지 않는 해(0 이 아닌 해)를 갖을 것
      2. 행렬 (A - λI) 가 특이행렬(비정칙 행렬)이 될 것
        1. 즉, det (A - λI) = 0
          1. λ가 위 특성방정식근(根)이 되는 것
    2. ※ 이로부터, 행렬 A가 주어질 때, 고유값 λ를 구할 수 있음
  6. 고유값 문제
    1. A x = λ x를 만족시키는 고유값 λ에 대해 0 이 아닌 벡터를 찾는 것
      1. 단계1: 행렬 (A - λI)를 비정칙행렬이 되게하는 모든 고유치 λ를 구함
      2. 단계2: 각 λ에 대해 (A - λI) x = 0를 만족하는 0 이 아닌 고유벡터 x를 구함
  7. 고유벡터들간의 일차독립
    1. 각 고유값 λi에 대응하는 고유벡터 xi들로 이루어진 { xi, x2, ... , xn } 은 일차독립이 됨
  8. 주요 용어
    1. 행렬 A의 특성방정식 : D(λ) = det (A - λI) = 0
    2. 특성다항식 : 다항식 D(λ) = det (A - λI)
    3. 고유값 또는 특성값 : 위 특성방정식의 해 λ
    4. 대수적 중복도(Algebraic Multiplicity) : 특성방정식 중복 근을 나타내는 정수 mi
    5. 고유벡터 또는 특성벡터 : 그 고유값에 대응하는 자명하지 않는 해 벡터
    6. 고유공간 : 그 고유값에 대응하는 자명하지 않는 모든 해 집합
      1. 각 고유값 λi에 대응하는 고유벡터 xi는 무수히 많음

[고유값문제]
1. 고유값 문제 2. 고유값,고유벡터 3. 고유 공간 4. 고유 함수 5. 닮음 행렬 6. 대각화 7. 특성 방정식 8. 거듭제곱법

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