Differential Equation   미분 방정식


   

ODE, Ordinary Differential Equation, 상 미분방정식

     (수정일:2017-06-15)

  1. 미분 방정식 (Differential Equation)
    1. 미지 함수와 이의 도함수를 포함하는 방정식
      1. 미지의 함수 y=f(x) 와 그 도함수 dny/dxn 사이에 어떤 관계를 나타내는 방정식
        1. 例)
    2. ※ 18세기 스위스 수학자 오일러(Leonhard Euler, 1701~1783)에 의해 개발되고 발전됨
  2. 수학적 모델링과 그 풀이 및 예측
    1. 물리계의 수학적 모델링
      1. 자연계의 물리적 현상을 수학적 모델링하여 미분방정식으로 표현하게 됨
        1. 물리적 현상에 대한 여러 정보를 이용하여, 몇 단계를 거치며 `미분방정식`과 그 `초기조건` 또는 `경계조건`을 찾아내는 과정
      2. 대부분, 계속 변화되는 변화률의 관계를 나타내게됨
    2. 미분방정식의 풀이 ☞ 미분방정식 풀이 참조
      1. 미분방정식을 만족하는 `미지 함수` = `독립변수의 연속함수`(해,解) 를 구하는 것
    3. 미분방정식의 해(근) ☞ 미분방정식 해 참조
      1. 일반 대수방정식과는 달리, 그 근이 숫자가 아닌 함수(독립변수로 구성)
    4. 예측성
      1. 그 풀이된 해로 자연현상을 예측할 수 있음
  3. 미분방정식의 표현 형태
    1. 양함수형(explicit form)
      1. 독립변수종속변수가 분리된 형태
        1. 例) y′= F(x,y)
    2. 음함수형(implicit form)
      1. 독립변수종속변수가 분리되지 않는 형태
        1. 例) F(x,y,y′) = c
  4. 주요 미분방정식 구분
    1. 미분방정식 (Ordinary Differential Equation,ODE)
      1. 미지 함수(해)에 대한 1 이상의 도함수를 포함하는 방정식
        1. 단일 독립변수에 대해, 1 이상의 종속변수의 상 도함수 만을 포함
        2. 1 이상의 종속변수와 단일 독립변수의 상 도함수 만을 포함
        3. 例) dy/dx + 4y = ex
      2. 보통, 그냥 미분방정식 라고하면, 상미분방정식을 말함
    2. 편 미분방정식 (Partial Differential Equation,PDE)
      1. 미지 함수(해)의 편 도함수를 포함한 미분방정식
        1. 2 이상의 독립변수에 대해, 1 이상의 종속변수편 도함수를 포함
        2. 例) ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 = 0
    3. 연립 미분방정식 (system of differential equations)
      1. 여러 미분방정식들이 집합(연립)을 이뤄 표현되나,
      2. 공통의 해를 갖는 미분방정식
  5. 미분방정식의 분류 및 주요 용어
    1. ※ ☞ 미분방정식 용어 참조
      1. 계수(order) 및 차수/멱수/멱지수(degree)
      2. 선형 미분방정식, 비선형 미분방정식
      3. 제차 선형 미분방정식, 비제차 선형 미분방정식
      4. 상수계수 미분방정식, 변수계수 미분방정식
      5. 임의 상수 (적분 상수) 등
  6. 초기값 문제, 경계값 문제
    1. 해가 일정한 조건을 만족시키도록 요구되는 미분방정식 풀이 문제

[미분방정식 기초]
1. 미분방정식 2. 미분방정식 해 3. 해적분곡선,방향장 4. 미분방정식 풀이 5. 양함수,음함수 6. 미분 연산자 7. 선형,비선형 미분방정식 8. 미분방정식 용어

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