Extreme Value   극값

(2018-08-16)

Maximum Value, 최대값, Minimum Value, 최소값, Local Maximum, 극대점, 극대값, Local Minimum, 극소점, 극소값, Stationary Point, 정류점, Critical Value, 임계값, Critical Point, 임계점

1. 절대 극값, 상대 극값

  ㅇ 절대 극값/극점 (최대값, 최소값)
     - 주어진 함수값 중 최대인 값 : 최대값/최댓값 (Maximum Value/Absolute Maxima)
     - 주어진 함수값 중 최소인 값 : 최소값/최솟값 (Minimum Value/Absolute Minima)
     * 구간 끝점을 포함해서 최대/최소인, 단일 값 (그냥, 극값 이라고도 함)

  ㅇ 상대 극값/극점 (극대값, 극소값) 
     - 국소적(지역적)으로 최대/최소인 상대 최소값(극대값),상대 최대 값(극소값)을 말함
        . 극대점/극대값(Local Maximum)
        . 극소점/극소값(Local Minimum)
     - 함수는 여러 다양한 극값들을 갖을 수 있음
     * 구간 끝점은 제외됨


2. 극값의 성질을 나타내는 점

  ㅇ 정류점,정상점 (Stationary Point)
     - 어떤 점 c에서 f'(c) = 0 (접선이 수평인 점)
        . 대개, 정류점에서 상대 극값(극소값/극대값)을 갖음

  ㅇ 변곡점 (Inflection Point)
     - 오목에서 볼록으로 또는 볼록에서 오목으로 바뀌는 점
     - 증가에서 감소 또는 감소에서 증가로 바뀌는 점 (f'(c) = 0인 정류점)

  ㅇ 특이점 (Singular Point)
     - 어떤 점 c에서 f'(c)가 존재하지 않는 점 (미분 불가능 점)
        . 例) 그 점에서 뾰족한 모서리를 갖거나, 접선이 수직하거나, 펄쩍 뒤거나,
              심하게 요동치거나, 불연속적이거나 등

  ㅇ 임계값/임계점 (Critical Value/Critical Point) 
     - 미분계수가 0 인 점 (정류점)
        . 봉우리 또는 골 형태의 극대점 또는 극소점 (즉, f'(x) = 0 인 점)
           .. 수평 접선을 갖는 점
     - 미분계수가 존재하지 않는 점 (특이점)
        . 뾰족한 극대점 또는 극소점 (즉, f'(x)가 존재하지 않는 점)

     - 例) 함수 f(x) = x1/3 은,
        . x = 0 에서, 수평접선 f'(0) = 0 인 임계점을 갖으나, 극점은 없음

     * 때론, 임계값/임계점은 구간 끝점,정류점,특이점 등 모두를 일컫음
        . 주로, 판정의 기준으로 삼는 값(점)
        . 즉, 특이한 상태나 급격한 변화가 일어나기 직전의 임계 상태에 있을 때의 값
           .. 例) 디지털통신 수신기에서 `0`,`1`을 판정하는 기준인 임계값 수준


3. 함수 그래프 모양 관련 정리

  ㅇ 절대 극값 존재 정리 / 최대 최소 존재 정리 (존재성)
     - 함수 f가 폐구간 [a,b]에서 연속이면,
        . f는 [a,b]에서 반드시 절대 극값(최대/최소)을 갖음
     - 이때, 절대 극값(초대값/최소값)은,
        . 구간 끝점(a 또는 b)이나 임계점(즉, f'(x) = 0 인 점)에서 발생 함

  ㅇ 도함수 부호,상대 극값에 관한 정리
     - 어떤 극점을 중심으로, 1계 도함수의 부호가 같다면, 그 점은 함수 f의 상대 극값이 아님
     - 어떤 극점을 중심으로, 1계 도함수의 부호가 다르면, 그 점은 함수 f의 상대 극값 임
        . 상대 극점 왼쪽 모든 점이 f'(x) > 0 이고, 오른쪽 모든 점이 f'(x) < 0 이면,
           .. 그 점은 함수 f의 극대점 임
        . 상대 극점 왼쪽 모든 점이 f'(x) < 0 이고, 오른쪽 모든 점이 f'(x) > 0 이면,
           .. 그 점은 함수 f의 극소점 임

  ㅇ 2계 도함수에 의한 극대값,극소값 판정 정리                        ☞ 오목,볼록 참조
     - (a,b)에서 f가 연속이고, f'(c) = 0 일때,
        . f"(c) < 0 이면, f(c)는 극대값
        . f"(c) > 0 이면, f(c)는 극소값


[최적화] 1. 최적 문제 2. 최적화 문제 용어 3. 변분법 4. 라그랑주 승수법 5. 극값,정류점,임계점 6. 특이점 7. 증가,감소 8. 오목,볼록,변곡점
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
          1. 수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   해석학(미적분 등)
            1. 해석학
        1.   미분적분
              1. 미분적분학
          1.   함수
          2.   극한,연속,발산
          3.   미분
          4.   적분
          5.   직선,곡선,곡면
          6.   최적화
            1.   1. 최적 문제
                2. 최적화 문제 용어
                3. 변분법
                4. 라그랑주 승수법
                5. 극값,정류점,임계점
                6. 특이점
                7. 증가,감소
                8. 오목,볼록,변곡점
        2.   벡터해석학
        3.   미분방정식
      4.   대수학
      5.   확률/통계
      6.   수치해법
    2.   물리
    3.   화학
    4.   지구,천체 과학
    5.   생명과학
    6.   뇌과학
  3.   진동/파동
  4.   방송/멀티미디어/정보이론
  5.   전기전자공학
  6.   통신/네트워킹
  7.   정보기술(IT)
  8.   공업일반(기계,재료등)
  9.   표준/계측/품질
  10.   기술경영

 
        최근수정     요약목록     참고문헌