Code Polynomial   부호 다항식

(2023-09-30)

부호 다항식 표현, 부호 벡터 표현, Cyclic Shift, 순환 이동


1. 부호어수학적 표현의 종류 : (벡터, 수열, 다항식)

    


2. 부호 다항식 (Code Polynomial)

  ㅇ (유용성)
     - `부호어(Codeword)` 표현 수단 중 하나
        . 특히, 순회부호부호어 표현에 유용한 수단
           .. 대수적 구조를 표현,파악하는데 매우 유용한 표현 방식 (다항식 형태를 갖음)

  ㅇ (표현 형식)
      
[# f_n(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \cdots + c_{n-1}x^{n-1} + c_nx^n #]
- [참고] ☞ 다항식 용어(미지수,차수,계수,선행계수 등) 참조 - 例) 차수 2를 갖는 GF(2) 상의 부호 다항식 표현에서, 구성 가능한 다항식 종류의 개수 : 4개 . {#x^2,\ 1+x^2,\ x+x^2,\ 1+x+x^2#} . (001), (101), (011), (111) ㅇ (주요 성질) 부호 다항식 간에 연산들은, - ① 덧셈(뺄셈),곱셈,나눗셈을, 통상적인 4칙연산 처럼 수행 가능함 ☞ 다항식합, 다항식곱 참조 - ② 결합법칙,교환법칙,분배법칙 성립함 ㅇ (이론 근거) ☞ 추상대수학, , 유한체 참조 - 순회 부호는, 다항식 계수 {#c_n#}들이, 갈로아 유한체 GF(q)의 원소를 형성함 . GF(q)[x] : 유한체 GF(q) 위에서의 다항식 환 3. 부호 다항식에 의한 부호어수학적 표기 例 ㅇ 부호 간 연산(덧셈,곱셈) 표현 例) ㅇ (n-k) 만큼 zero padding 例) 4. 부호어비트 순환 이동(Cyclic Shifting)에 대한, (벡터,수열,다항식) 각각의 수학적 표기 ㅇ n 비트 순환부호에서, i 비트 순환 이동한 경우의, 수학적 표현 5. i 비트 이동된 부호 다항식대수적 관계식 ㅇ i번 순환이동된 다항식 c(i)(x)는, - c(x)에다가 xi를 곱한 xic(x)을 (xn+1)로 나누었을 때의 나머지와 같음 ㅇ 즉, 모듈러 연산 결과 와 같음 ㅇ 결과적으로, 다음과 같음 - 순환이동된 부호어 = 모듈러 연산 결과 = 다항식 나눗셈의 나머지(나눗셈 관계식)

선형 블록부호의 생성(표현)
   1. 생성 행렬   2. 생성행렬 표현   3. 부호 다항식   4. 생성 다항식  
순회 부호
   1. 순회 부호   2. 부호 다항식   3. 생성 다항식   4. CRC(순환중복검사)   5. CRC 생성 다항식 종류   6. BCH 부호   7. RS 부호   8. PN 코드   9. 최장 수열  


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