Characteristic Equation, Auxiliary Equation, Characteristic Polynomial, Characteristic Root   특성 방정식, 보조 방정식, 특성 다항식, 특성근

(2017-09-13)
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1. 특성 방정식(Characteristic Equation) / 보조 방정식(Auxiliary Equation)

  ㅇ 입력과는 무관하며 시스템(특히,선형시스템)의 고유한 특성을 나타내는 방정식


2. 특성 방정식에 대한 여러 동등한 정의식

  ㅇ [미분방정식]  선형 동차 미분방정식 해와 관련된 대수적 방정식

     -  상수 계수를 갖는 선형 동차 미분방정식(즉, LTI 시스템)으로부터, 
     -  일반해지수형태의 해 x(t)=eλx의 형태를 가질 것으로 기대되어, 
     -  이를 해로써 대입하였을 때 해당 미분방정식을 만족시키게되는 방정식

  ㅇ [행렬/고유값]  정방행렬 A (시스템행렬)의 특성 방정식

     -   det(A - λI) = 0      : 특성 방정식
        . P(λ) = det(A - λI) : 특성 다항식 (Characteristic Polynomial)
        . det() : 행렬식 (Determinant)

     -  일반적으로, 다음과 같이 λ의 방정식 형태를 갖음
        . λn + c1n-1 + ... + cn = 0

  ㅇ [제어전달함수]  폐루프 전달함수의 분모 다항식을 영으로 놓은 것

     -   T(s) = p(s)/q(s) = G(s)/{1 + G(s)H(s)} 에서 분모가 `0`
        . 즉, q(s) = 0 또는 1 + G(s)H(s) = 0 (특성 방정식)
           .. q(s) 또는 1 + G(s)H(s) : 특성 다항식(Characteristic Polynomial)

  ㅇ [상태방정식] 전달함수행렬에서 분모를 영으로 놓은 것

     -   |sI - A| = 0


3. 특성 방정식의 유도 例선형 미분방정식 으로부터 ⇒ 특성방정식 유도
     - 미분방정식미분 연산자를 대입시켜 유도
        .  상수계수의 2계 제차 선형 미분방정식 ay″+ by′+ cy = 0 에서
        .  다음과 같이 해를  y = eλx, y′= λeλx, y″= λ2eλx로 가정하여 대입하면,
        .  aλ2eλx + bλeλx + ceλx = 0  ->  eλx(aλ2 + bλ + c) = 0
        .  여기서, eλx가 0 이 될 수 없으므로,
        .  결국, 미분방정식을 만족시킬 수 있는 유일한 방법은 aλ2 + bλ + c = 0
        .  이때의 aλ2 + bλ + c = 0 를 특성방정식이라고 함

  ② 전달함수 로부터  ⇒ 특성방정식 유도
     - 전달함수 분모다항식을 0 으로 놓고 유도
        .  상수계수의 2계 선형 미분방정식 ay″+ by′+ cy = dx″+ ex′+ fx 에서
        .  미분연산자 sk = dky/dtk를 대입하면,
        .  (as2+bs+c)y(t) = (ds2+es+f)x(t)
        .  시스템 전달함수는 H(s) = (ds2+es+f)/(as2+bs+c)
        .  분모다항식을 0으로 놓으면 특성방정식이 얻어짐


4. 특성방정식의 근/해 = 특성근(Characteristic Root)/고유값(Eigenvalue)고유응답의 특성을 나타내는데 필요한 모든 정보를 갖게됨

  ※ 이는, 선형시스템 해석 및 풀이에 중요한 역할을 함 ☞ 고유치(Eigenvalue), 극점(Pole)


[2계(고계) 미분방정식] 1. 2계 미분방정식 2. 론스키안 3. 보조방정식,특성방정식 4. 선형 결합 5. 코시-오일러 방정식 6. 미분 연산자 7. 선형 연립 미분방정식
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