Generator Matrix   생성 행렬

(2018-11-30)
1. 선형 블록부호의 효율적인 생성/변환/부호화 => 생성 행렬(Generator Matrix)선형 블록부호는,
     - `메세지 벡터 m`에 `생성 행렬 G`을 `행렬 곱셈`하면, `부호어 벡터(x = m G)`가 만들어짐
          행렬 곱셈에 의한 선형 블록부호의 생성
     - 길이 k인 입력 벡터를 길이 n인 부호 벡터변환하는 것
     * 수학적으로, 행렬 곱셈선형 변환(행렬 변환)에 사용되는 도구 임


2. 선형 블록부호의 생성 例

     


3. 생성 행렬의 특징

  ㅇ 생성 행렬의 행(row)들은 서로 선형 독립임 (Linearly Independent)
     - 선형독립인 k개 행들을 선형 결합함으로써 부호어를 생성하게 됨
     - 따라서, 생성 행렬의 행들은, 부호어(Codeword)의 기저(Basis)를 형성함 

  ㅇ 결국, 생성 행렬은 효율적 (Efficient Generation)
     - 선형 블록부호가 취하는 선형 벡터공간 내에서,
        . 행렬 곱셈에 의해, 선형 블록부호를 효율적으로 생성 가능
     - 즉, 2k 만큼의 대조표에 의해 일일이 부호어를 찾는 것 보다, 
        . k 행 만을 갖는 생성 행렬의 곱셈 만으로 부호어를 생성하므로 훨씬 효율적임
        
  ㅇ 유일하지 않음 (Not Unique)
     - 하나의 주어진 선형부호에 대해 유일하지 않음
        . 즉, 생성 행렬이 여러개 있을 수 있음

  ㅇ 행렬 곱셈에 의한 부호어 생성/변환/부호화
     - 부호길이 k의 메세지 벡터(1 x k)에 생성 행렬을 곱하여,
     - 부호길이 n의 부호어 벡터(1 x n)로 코드 변환시킴


4. 생성 행렬의 형식

  ㅇ 통상, 체계적 부호 형식을 취함
     - k×k 단위행렬 옆에, 패리티 비트로 된 k×(n-k) 행렬이, 덧붙여 나타나거나,
          
     - 또는, 패리티 비트가 먼저 나오고, 그 뒤에 단위 행렬이 나타나는 형식을 취하기도 함

  ㅇ 생성 행렬의 크기 :  k × n
     - (n: 부호 길이,  k : 정보 길이)

  ㅇ 생성 행렬랭크(Rank) : k
     - k : 정보비트 수 = 랭크(Rank) = 차원(Dimension) = 선형독립인 행의 개수


5. 생성 행렬의 표현

  ※ ☞ 생성행렬 표현 참조
     - 생성행렬에 의한 부호어 생성 등


[수학적 표현] 1. 생성 행렬 2. 생성행렬 표현 3. 부호 다항식 4. 생성 다항식
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