Set   집합

(2023-01-21)

集合, Set Theory, 집합론, Set Builder Notation, Set Comprehension, 조건제시법


1. 집합 (Set, 集合)

  ㅇ 어떤 (수학적) 대상들의 모임
     - 범위가 확정된, 구체적인 대상이 정해진 어떤 개체들을 모아 놓은 것

  ㅇ 특징
     - 순서가 없는 원소들의 모임
     - 명확하게 정의된 조건을 충족하는 수학개체들의 모임
        . 例) 키가 큰 사람들의 모임은, 키가 크다는 것이 모호한 정의이므로 집합이 아님
     - 집합 내 원소들이 소속성(membership)을 갖는 것 이외에 별다른 수학적 의미를 갖지 않음


2. 집합론 (Set Theory, 集合論)추상적인 집합 및 그 성질을 연구하는 학문
     - 수학적 사고의 기초를 제공
        . 모든 다른 수학적 구조들의 기초를 설명하기 위해 많이 사용됨

  ※ 집합론 창시자  :  칸토어 (George Ferdinand Ludwig Phillip Cantor, 1845~1918)
     - 집합이라는 개념을 도입 (러시아 수학자)
     - 무한 집합을 분류하고 이를 연구


3. 집합의 원소 / 요소 / 성분 / 원 (element, 元素)

  ㅇ 원소는, 집합을 이루는 (수학적) 개체들을 말함

  ㅇ 특징  :  원소의 순서는 중요하지 않음


4. 집합의 표현, 표기법, 표현방식

  ㅇ 표기
     - 집합  :  알파벳 대문자  A,B,C, ...
     - 원소  :  알파벳 소분자  a,b,c, ...

  ㅇ 표기 및 호칭
     - 만일 a가 집합 A의 원소라면, a ∈ A 라고 표기하고,
     - `a는 집합 A에 속한다. 또는, 집합 A가 a를 포함한다.` 라고 말함  

  ㅇ 표현 방식
     - 원소나열식 (원소나열법, Tabular notation, Roster notation)  :  외연적 정의
        . 원소를 단지 나열함으로써 집합을 표현
        . 例)  A = { a,b,c,... }

     - 원소서술식 (조건제시법, Set-builder Notation, Set Comprehension)  :  내포적 정의
        . 원소들의 공통 성질로써 집합을 표현 
           .. 집합의 크기가 커지면 유리함
        . 例)  A = { x | x은 자연수 }
           .. { } : 중괄호(curly brace) 내 집합을 표현함
           .. (좌측) 변수/수식  :  x,2n 등 변수를 활용한 원소들의 `꼴/형태/기호/수식`
           .. (|) 수직선        :  ~와 같다(such that)를 의미
           .. (우측) 조건       :  `x은 자연수` 등 원소들의 `조건` 표시


5. 집합의 상등(Equal), 크기(Cardinality), 닫힘(Closure)

  ㅇ 집합의 동치,동격  A = B
     - 즉,  B ⊆ A 이고, 동시에 A ⊆ B  

  ㅇ 집합의 크기  |A|                                    ☞ Cardinality 참조
     - 집합을 이루는 원소의 수

  ㅇ 닫힌 집합 / 닫힘의 의미                             ☞ 이항 연산 참조
     - 주어진 집합 A 상에서 어떤 연산 ·이 정의되어 a,b∈A ⇒ a·b∈A 일 때
        . 즉, 집합 내 원소들에 대한 연산 결과가 다시 그 집합 내의 원소가 될 때,
              집합 A는 그 연산(·) 아래 닫힘 성질을 갖는다고 함


6. 집합의 종류, 연산, 관계 등

  ㅇ 집합의 종류               ☞  집합 종류 참조
     - (유한집합,무한집합,전체집합,부분집합,공집합,멱집합,곱집합,여집합 등)

  ㅇ 집합 간의 연산집합 연산 참조
     - (합집합,교집합,차집합,곱집합,멱집합 등)

  ㅇ 집합 간의 관계            ☞  순서쌍, 데카르트곱(곱집합), 함수 참조

  ㅇ 집합의 도형 표현          ☞  벤 다이어그램(Venn Diagram) 참조

  ㅇ 수(數)를 나타내는 집합    ☞  수의 집합 참조

  ㅇ 드모르간의 법칙(De Morgan's laws)

집합
   1. 집합   2. 집합의 종류   3. 집합의 연산   4. 집합의 크기   5. 부분 집합   6. 멱 집합, 분할   7. 카테시안 곱   8. 벤 다이어그램   9. 드모르간의 법칙   10. 서로소   11. 닫힘 성질  


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