Differential Equation   미분 방정식

(2017-06-15)

ODE, Ordinary Differential Equation, 상 미분방정식

1. 미분 방정식 (Differential Equation)

  ㅇ 미지 함수와 이의 도함수를 포함하는 방정식
     - 미지의 함수 y=f(x) 와 그 도함수 dny/dxn 사이에 어떤 관계를 나타내는 방정식

        . 例) 

  ※ 18세기 스위스 수학자 오일러(Leonhard Euler, 1701~1783)에 의해 개발되고 발전됨


2. 수학적 모델링과 그 풀이 및 예측

  ㅇ 물리계의 수학적 모델링
     - 자연계의 물리적 현상을 수학적 모델링하여 미분방정식으로 표현하게 됨
        . 물리적 현상에 대한 여러 정보를 이용하여, 몇 단계를 거치며 `미분방정식`과 
          그 `초기조건` 또는 `경계조건`을 찾아내는 과정

     - 대부분, 계속 변화되는 변화률의 관계를 나타내게됨

  ㅇ 미분방정식의 풀이                              ☞  미분방정식 풀이 참조
     - 미분방정식을 만족하는 `미지 함수` = `독립변수의 연속함수`(해,解) 를 구하는 것

  ㅇ 미분방정식의 해(근)                            ☞  미분방정식 해 참조
     - 일반 대수방정식과는 달리, 그 근이 숫자가 아닌 함수(독립변수로 구성)

  ㅇ 예측성
     - 그 풀이된 해로 자연현상을 예측할 수 있음


3. 미분방정식의 표현 형태양함수형(explicit form) 
     - 독립변수종속변수가 분리된 형태
        . 例)  y′= F(x,y)

  ㅇ 음함수형(implicit form)
     - 독립변수종속변수가 분리되지 않는 형태
        . 例)  F(x,y,y′) = c


4. 주요 미분방정식 구분

  ㅇ 상 미분방정식 (Ordinary Differential Equation,ODE)
     - 미지 함수(해)에 대한 1 이상의 도함수를 포함하는 방정식
        . 단일 독립변수에 대해, 1 이상의 종속변수의 상 도함수 만을 포함
        . 1 이상의 종속변수와 단일 독립변수의 상 도함수 만을 포함
        . 例)  dy/dx + 4y = ex
     - 보통, 그냥 미분방정식 라고하면, 상미분방정식을 말함

  ㅇ 편 미분방정식 (Partial Differential Equation,PDE)
     - 미지 함수(해)의 편 도함수를 포함한 미분방정식
        . 2 이상의 독립변수에 대해, 1 이상의 종속변수편 도함수를 포함
        . 例)  ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 = 0

  ㅇ 연립 미분방정식 (system of differential equations)
     - 여러 미분방정식들이 집합(연립)을 이뤄 표현되나, 
     - 공통의 해를 갖는 미분방정식


5. 미분방정식의 분류 및 주요 용어

  ※ ☞ 미분방정식 용어 참조
     - 계수(order) 및 차수/멱수/멱지수(degree)
     - 선형 미분방정식, 비선형 미분방정식
     - 제차 선형 미분방정식, 비제차 선형 미분방정식 
     - 상수계수 미분방정식, 변수계수 미분방정식
     - 임의 상수 (적분 상수) 등


6. 초기값 문제, 경계값 문제

  ㅇ 해가 일정한 조건을 만족시키도록 요구되는 미분방정식 풀이 문제


[미분방정식 기초] 1. 미분방정식 2. 미분방정식 해 3. 해적분곡선,방향장 4. 미분방정식 풀이 5. 양함수,음함수 6. 미분 연산자 7. 선형,비선형 미분방정식 8. 미분방정식 용어
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   정수론(수론)
      4.   해석학(미적분 등)
            1. 해석학
        1.   미분적분
        2.   미분방정식
          1.   미분방정식 기초
            1.   1. 미분방정식
                2. 미분방정식 해
                3. 해적분곡선,방향장
                4. 미분방정식 풀이
                5. 양함수,음함수
                6. 미분 연산자
                7. 선형,비선형 미분방정식
                8. 미분방정식 용어
          2.   초기값문제,경계값문제
          3.   1계 미분방정식
          4.   2계(고계) 미분방정식
          5.   급수해법
          6.   편미분방정식
          7.   특수함수
      5.   대수학
      6.   확률/통계
      7.   수치해법
    2.   물리/화학
    3.   지구,천체 과학
    4.   생명과학
  3.   파동/광학/음향
  4.   방송/멀티미디어/정보이론
  5.   전자/전기/제어
  6.   통신/네트워킹
  7.   정보기술(IT)
  8.   기계/재료/공업일반
  9.   표준/계측/품질
  10.   기술경영

 
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