Probability, Axiom of Probability   확률, 확률 공리

(2018-03-14)

주관적 확률, 확률의 가법 정리, 확률의 승법 정리

1. 확률 (Probability)

  ㅇ 어떤 사건이 일어날 가능성의 측도(measure,측량 단위) => 수(數)로써 나타낸 것
     - 상대적 비율로써 표현될 수 있음
        . 즉, 어떤 현상이 일어날 가능성을 측정,표현코자하는 측도(measure)로 삼고자한
              것이 바로 확률 임


2. 확률의 종류

  ㅇ 이론적 확률 (수학적 확률)
     - 누구라도 동일한 값으로 계산되는 엄밀한 확률        : 수학적으로 정의됨

  ㅇ 객관적 확률 (통계적 확률 / 상대빈도 확률)
     - 동일조건/독립적으로 몇번 반복하였을 때의 발생 확률 : 도수 이론(frequency theory)

     * (대수의 법칙) 시행이 많아질수록 `통계적 확률`은 `수학적 확률`에 가까워짐

  ㅇ 주관적 확률
     - 관찰자의 주관적 믿음/확신으로써 표현되는 확률      : 주관적 견해(subjective view)

     * (베이즈 확률) 모집단을 미리 확정짓지 않고, 모수확률변수 처럼 취급


3. 확률 공리 (공리적 확률) (Axiom of Probability)

  ㅇ 오랫동안 경험적으로 쌓아온 확률현상에 대한 경험적 인식을 바탕으로 이론화한 것
     - 어떤 사건의 확률을 계산하기 위한 규칙의 근거를 제시함

  ㅇ 수학적으로 확률은 다음의 3가지 공리로부터 출발한다.

     - 공리 1  (Non negativity, 양의 실수)
        . 임의의 사건 A에 대하여  1 > P(A) ≥ 0
     - 공리 2  (Normalization, 정규화)
        . P(S) = 1  (여기서, S 는 표본 전체의 집합,표본공간)
     - 공리 3  (Additivity, 가법성)
        . 상호배타적인 사건 A₁,A₂,A₃,...에 대하여,
        . P(A₁∪ A₂∪ A₃∪ ...) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) + ...

     * 확률은 0 과 1 사이의 실수이다. (공리 1 및 2) 
     * 모든 상호배타적 사건의 합집합에 대한 확률은 개개 사건의 확률의 합이다. (공리 3)

  ※ 1933년 러시아 수학자 A. N. Kolmogorov(1903~1987)가 정형화시킴


4. 확률의 주요 정리/법칙

  ㅇ 확률의 가법 정리(덧셈 정리) (Addition Theorem of Probability)
     - P(A∪B) = P(A) + P(B)
        . 상호독립인 사상 A,B 어느 하나가 일어날 확률은, 확률들의 합과 같음

  ㅇ 확률의 승법 정리(곱셈 정리) (Multiplication Theorem of Probability)
     - P(A∩B) = P(A|B) P(B)  또는  P(B|A) P(A)
        . A,B가 동시 발생 확률은, A 발생 확률과 B 발생 확률을 곱한 것과 같음

  ㅇ 독립 사건, 종속 사건, 배반 사건, 결합 사건
     - 여러 확률적 사건들을 함께 바라다 본 경우에 서로 다른 관점들

  ㅇ 대수의 법칙 (Law of Large Numbers)
     - `확률적 수렴`에 관한 정리 중 하나
         . 시행이 많아질수록, `통계적 확률`은 `수학적 확률`에 가까워짐

  ㅇ 전체 확률 법칙 (Law of Total Probability)
     - 한 실험이 연속된 하위 실험들로 구성될 때 유용한 법칙


5. [참고사항]집합 이론
     - 표본 공간사건들을 자세하게 기술하는데 이용됨

  ㅇ 확률변수 
     - 실험에서 나올 수 있는 모든 결과를  대변(代辯)케하는 변수확률모형/확률분포
     - 확률적 현상에 대한 수학적(확률적) 표현 (확률변수의 거동,동태를 나타냄)

  ㅇ 확률함수(누적분포함수,확률질량함수,확률밀도함수)
     - 전반적 확률 특성에 대한 정보 (확률변수의 거동,동태를 함수 표현을 빌려 나타냄)


[확률 이란?] 1. 확률 2. 전체 확률 법칙 3. 대수의 법칙 4. 중심극한의 정리 5. 자유도 6. 체비셰프 부등식
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
          1. 수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   해석학(미적분 등)
      4.   대수학
      5.   확률/통계
        1.   확률 이란?
          1.   1. 확률
              2. 전체 확률 법칙
              3. 대수의 법칙
              4. 중심극한의 정리
              5. 자유도
              6. 체비셰프 부등식
        2.   확률공간
        3.   확률 모형,분포
        4.   확률 변수
        5.   확률 과정
        6.   통계량
        7.   통계학
      6.   수치해법
    2.   물리
    3.   화학
    4.   지구,천체 과학
    5.   생명과학
  3.   진동/파동
  4.   방송/멀티미디어/정보이론
  5.   전기전자공학
  6.   통신/네트워킹
  7.   정보기술(IT)
  8.   공업일반(기계,재료등)
  9.   표준/계측/품질
  10.   기술경영

 
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