Expected Value, Expectation   기대치, 기대값

(2023-11-04)

기댓값


1. 기대값 (Expectation)

  ㅇ 기대값은 단순한 평균 그 이상으로 일반화된 개념 임
     - 예측/추정하려는 어떤 특정값이 아닌, 
     - 기대되는 예측치들의 평균값

  ㅇ 즉, 확률적 분포 개념이 고려된 평균 임
     - 확률분포의 성격을 결정짓는 확률평균치 (무게중심, 균형점)
     - 확률변수가 나타내는 확률분포에서, 중심 경향 / 기대되는 위치
        . (즉, 중심점으로 기대되는 대표 값)

  ㅇ 결국, 확률분포를 담고있는 확률변수에 취해지는 확률가중평균
[# E[X] = \sum^n_{i=1} x_i P(x_i) #]
2. 기대값, 평균 비교 ㅇ 기대값(Expected Value) - 이따금, 평균(Mean Value)과 같은 의미로 잘못 사용됨 - 기대값은 모집단에 대한 통계파라미터 중 하나로써 기대되는 예측치들의 평균값을 의미 . 즉, 모집단 확률분포모수에 대한 무게중심으로 기대되는 값 ㅇ 결국, - 기대값은 매 표본 집단 마다 얻어지는 표본 평균들에 대한 일반화임 . 시행횟수 n -> ∞ 이면, 표본평균모집단(확률변수)의 기대값에 수렴대수의 법칙 ㅇ (기대값,평균의 표기를 달리하는 관례) - 확률변수 X에 대한 기대값(Expectation) 표기 : E[X] 또는 < X > - 확률변수 X에 대한 평균(Mean) 표기 : {# \overline{X} #} 또는 {# μ_X #} 3. 기대값 정의 식확률변수에 의한 확률밀도함수,확률질량함수 등과 관련된 적분식(integral) 또는 합(summation)으로써 정의/계산됨
[# E[X] = \left\{ \begin{array}{ll} \sum_i x_ip_{{\tiny X}}(x_i) & (discrete) \\ & \\ \int xf_X(x)dx & (continuous) \end{array} \right. #]
이산 확률변수의 기대값
[# E[X] = \sum_{x_i \in S_X} x_i p_X(x_i) #]
연속 확률변수의 기대값
[# E[X] = \int^{\infty}_{-\infty} x f_X(x) dx #]
※ [참고] ☞ 확률 모멘트 (1차 모멘트) 4. 확률변수 함수 g(X)의 기대값 ㅇ 단일 확률변수 함수의 기대값 - (이산)
[# E[g(X)] = \sum_{x_i \in S_X} g(x_i)\;p_X(x_i) #]
- (연속)
[# E[g(X)] = \int^{\infty}_{-\infty} g(x)\;f_X(x)\;dx #]
다변량 확률변수 함수의 기대값 - (이변량)
[# E[g(X,Y)] = \int^{\infty}_{-\infty} \int^{\infty}_{-\infty} g(x,y)\;f_{X,Y}(x,y)\;dxdy#]
- (다변량)
[# E[g(X_1,\cdots,X_N)] = \int^{\infty}_{-\infty} \cdots \int^{\infty}_{-\infty} g(x_1,\cdots,x_N)\;f_{X_1,\cdots,X_N}(x_1,\cdots,x_N)\;dx_1\cdots dx_N#]
5. 조건부 기대값 (Conditional Expected Value)
[# E[X|B] = \int^{\infty}_{-\infty} x\;f_X(x|B)\;dx #]
※ [참고] ☞ 조건부 확률의 의의 참조 6. 기대값 관련 성질확률변수와 그 평균과의 차이의 기대값은, 영(0)이 됨
[# E[X-μ_X] = 0 #]
확률변수의 가중 합의 기대값은, 각 확률변수의 기대값을 가중한 합과 같음
[# E[aX+b] = aE[X]+E[b] = aE[X]+b #]
[# E\left[\sum^N_{i=1}a_iX_i\right] = \sum^N_{i=1} \int^{\infty}_{-\infty} \cdots \int^{\infty}_{-\infty} a_ix_if_{X_i,\cdots,X_N}(x_1,\cdots,x_N)dx_1 \cdots dx_N = \sum^N_{i=1}a_iE[X_i]#]
ㅇ 기대값과 분산과의 관계는,
[# Var[X] = E[X^2] - μ^2_X #]
- Var[·] : 분산, E[·] : 기대값, μ : 평균

평균화
   1. 평균이란?   2. 산술 평균   3. 기하 평균   4. 조화 평균   5. 가중 평균   6. 이동 평균   7. 가중 이동평균   8. 시간 평균   9. 앙상블 평균   10. 기대값   11. 복합 연평균성장률  
집중경향
   1. 기대값(Expectation)   2. 중앙값(Median)   3. 최빈값(Mode)   4. 평균(Mean)  


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