Orthogonal, Orthogonality, Orthogonal Space, Orthogonal Set   직교성, 직교, 직교 공간, 직교 집합

(2017-09-22)

Orthogonal Vector Space, 직교 벡터 공간, Orthogonal Function Space, 직교 함수 공간

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  6. 직교
  7. 슈바르츠 부등식

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  5. 상관
  6. 차이
  7. 직교

1. 직교성(Orthogonality)

  ㅇ 수학적으로, 각 요소들이 서로 독립적임을 나타내는 용어

  ㅇ 일반적으로, 신호/현상 상호 간에 전혀 관련성이 없음을 의미
     - `직교성`  <-(반대)->  `상관성(상관관계)`

  ※ [어원/용어] 
     - 그리스어 `orthos` : 곧은(straight),옳은/정확한(right,true),직각을 이루는 등을 의미
     - 직교(直交) : `직각(直角)으로 만나다(交)`의 뜻

     * 직각은 기하학적인 용어이고, 
       직교는 기하학대수학 등 모두를 포괄하는 광의의 용어

  ※ `직교성` 이해 
     - 수학적으로 비교의 개념을 구분시켜 살펴본다면, ☞ 비교(같음/닮음/다름) 참조


2. 벡터함수에서 직교성 판단

  ※ `내적`이라는 수치값에 의해, 
     - 벡터,함수 등은 비로소 기하학적인 의미(크기,각도,거리 등 스칼라량)를 부여 받음

  ㅇ 벡터 직교성
     -  두 벡터내적(Inner Product/Dot Product)이 `0`
        .  < x,y > = x·y = xTy = 0

  ㅇ 함수 또는 신호 직교성
     - 두 함수를 곱하여 적분한 결과가 `0`
        . 실수 함수
          
        . 복소수 함수
          

     - 유한구간 (a,b)에서의 직교성
        

     * 대표적인 직교성 검토 例) (정현파 신호,복소지수 신호)
        


3. 직교 집합(Orthogonal Set), 직교 공간(Orthogonal Space) 

  ※ `공간`, `집합`, `생성`, `직교`의 의미 
     - 집합 : 범위가 확정된, 구체적인 대상이 정해진 어떤 요소들의 모음
     - 공간 : 집합의 요소들이 어떤 대수적 구조를 갖는 틀 내에서 그려내는 공간
     - 생성 : 집합이 어떤 규칙에 따라 공간생성함
     - 직교 : 구성 요소들 간에 서로 독립적/관계없음

  ㅇ 직교 집합(Orthogonal Set)
     - 집합 요소들이 서로 직교성을 이룸
        . 例) S = { u1=(1,0,0), u2=(0,1,-1), u3=(0,1,1) }
           .. < u1,u2 > = < u1,u3 > = < u2,u3 > = 0  
           .. 따라서, 집합 S는 직교성이 성립되는 직교집합임

  ㅇ 직교 벡터 공간 (Orthogonal Vector Space)
     - 서로 직교하는 각각의 벡터 성분들의 선형결합으로 생성(Span)되는 공간
        . 벡터 집합 {u1,u2,...} 내의 서로 다른 모든 요소(벡터)들이 모두 직교할 때
           .. 즉,  <ui,uj> = 0   (i ≠ j)

  ㅇ 직교 함수 공간 (Orthogonal Function Space)
     - 기저함수(Basis Function)라고하는 선형 독립 함수들로 생성(Span)되는 공간
        . 함수 집합 {Φ1(x),Φ2(x),...} 내의 서로 다른 요소(함수)들이 구간 (a,b)에서 모두 직교할 때
           .. 즉, 


4. 신호를 직교 집합으로 표현하는 이유

  ㅇ 표현 방식의 단순화 (수학적으로 다루기 편리함)
     - 임의 신호를 직교 파형들의 가중합으로 근사적으로 표현할 수 있기 때문

  ㅇ 시각화 가능
     - 신호공간에서 신호 벡터에 의한 점으로 표현 가능

  ㅇ 선형시스템 응답을 구하는데 편리
     - 전체 시스템응답이 각 개별 입력 응답의 선형결합으로 나타남


5. 분야별 직교성 의미

  ㅇ [신호 해석 분야]  `직교(直交)`
     - 어떤 신호들이 무리를 이루고 있을 때 이 무리에 속한 임의의 두 신호를 선택하더
       라도 이 두 신호가 서로 직교함(독립적임) 
        . 어느 하나의 신호라도 신호 무리들 중 다른 신호들의 결합된 형태로 표현 못함
           .. 직교 신호 例) cos (2πfct) 및 cos (2πfct + 90˚) = - sin (2πfct)

  ㅇ [푸리에 급수]  `신호푸리에급수 표현`
     - 직교기저 함수정현파 또는 지수신호들의 무한 집합을 이용하여 주기신호무한급수 형태로 표현

  ㅇ [통신 변조 분야]  `동위상 (In-phase)` 및 `직교위상 (Quadrature)`
     - 위상이 상호 직각(90˚)으로 직교한다는 의미로써, 
        . 동위상(In-phase) 및 직교위상(Quadrature) 으로 구분
          ☞ 직교위상변조(QM), 복소포락선, 직교위상천이변조(QPSK) 등 참조

  ㅇ [코드 분야]  `직교 코드 (Orthogonal Code)`
     - 서로 다른 코드 사이에 상호상관이 0 인 코드를 말함 ☞ 왈쉬코드(Walsh Code) 참조


[직교성,대각화] 1. 직교성 2. 대각 행렬 3. 일차,이차 형식 4. 그람 슈미트 직교화 과정
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   정수론(수론)
      4.   해석학(미적분 등)
      5.   대수학
            1. 대수학
        1.   기초대수학
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              1. 선형대수
          1.   벡터
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          3.   벡터 공간
          4.   고유값문제
          5.   선형변환
          6.   직교성,대각화
            1.   1. 직교성
                2. 대각 행렬
                3. 일차,이차 형식
                4. 그람 슈미트 직교화 과정
          7.   선형대수 수치방법
        3.   추상대수학
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