LU Decomposition, LU Factorization   LU 분해, LU 인수분해

(2016-07-02)
1. LU 분해 (LU Decomposition, LU Factorization)계수행렬하 삼각행렬상 삼각행렬의 곱으로 인수분해하는 것
     -  A = L U
       

        . L은 단위 하 삼각행렬 (또는, 하 삼각행렬)
        . U는 상 삼각행렬      (또는, 단위 상 삼각행렬)
           .. U는 A를 행교환없이 행축소행사다리꼴과 같음
           .. 즉, (E1 E2 ... Ek) A = U

  ㅇ LU 분해 가능
     -  만일, 계수행렬 A가 행교환없이도 행사다리꼴행축소 가능한 정방행렬이면, 
     -  A = L U 형태로 분해 가능

  ㅇ LU 분해 알고리즘
     - 일련의 행 교환 없이 행 교체 만으로 A를 행사다리꼴상 삼각행렬 U로 변환시킴
        . 각 단계에서 사용된 배수들을 기록해 둠
     - 이 과정에 대응되는 각각의 배수 및 그 역수를 원소로하는 하 삼각행렬 L을 만듬 


2. LU 분해에 의한 풀이

  ㅇ LU 분해에 의한 선형연립방정식 풀이
     - ①  A x = b  →  L U x = b  (LU 분해)
     - ②  U x = y 로써 n x 1 행렬 y 를 정의함
     - ③  L y = b 에 의해 y 를 구함 (전진 대입,forward substitution)
     - ④  U x = y 에 의해 x 를 구함 (후진 대입,backward substitution)

  ㅇ LU 분해에 의한 풀이 이유
     - 선형연립방정식 풀이에 가우스 소거법,가우스 조르단 소거법을 사용하여 컴퓨터 계산을
       수행하면 계산량이 많아서,
        . 소규모인 경우에는 무난하나,
        . 대규모인 경우에는 반올림오차,메모리과다사용,수행속도 면에서 불리함


3. LDU 분해

  ㅇ LU 분해는 여러 형태로 분해가능하여 유일하지 않으나, LDU 분해는 유일하게 분해됨
     -  A = L D U
        . L,U : 주 대각선 성분 모두 `1`인 단위 하 또는 상 삼각행렬
        . D : 대각행렬

  ㅇ 例)
     


4. PLU 분해피보팅을 이용한 LU 분해
     - 행렬 A가 반올림오차를 줄이기 위해 행 교환이 필요한 경우에,
       예비적 처리를 함으로써 LU 분해를 가능케하는 방식

   


[선형대수 수치방법]1. 행렬 분해  2. LU 분해  
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   정수론(수론)
      4.   해석학(미적분 등)
      5.   대수학
            1. 대수학
        1.   기초대수학
        2.   선형대수학
              1. 선형대수
          1.   벡터
          2.   행렬
          3.   벡터 공간
          4.   고유값문제
          5.   선형변환
          6.   직교성,대각화
          7.   선형대수 수치방법
            1.   1. 행렬 분해
                2. LU 분해
        3.   추상대수학
      6.   확률/통계
      7.   수치해법
    2.   물리/화학
    3.   지구,천체 과학
    4.   생명과학
  3.   파동/광학/음향
  4.   방송/멀티미디어/정보이론
  5.   전자/전기/제어
  6.   통신/네트워킹
  7.   정보기술(IT)
  8.   기계/재료/공업일반
  9.   표준/계측/품질
  10.   기술경영

 
        최근수정     모바일웹     참고문헌