Real Number   실수 (實數), 분수 (分數)

(2016-06-07)

실수 , 분수

1. 실수(實數) (Real Number) 이란?

  ㅇ 실수(實數) (Real Number) : ℝ
     - 허수를 제외한 유리수,무리수를 총칭하는 수

    

  ※ 실수 보다 더 확장된 수 ☞ 복소수 참조


2. 실수(實數)  의 분류유리수 (Rational number) :  ℚ  =  { p/q | p,q ∈ Z, q≠0 }
     - 두 정수의 비(比) 즉, 분수(分數)로 나타낼 수 있는 수

     - 정수 (Integer) :  ℤ  =  { ...,-2,-1,0,1,2,... }
        . 양의 정수(Positive Number) = 자연수(Natural Number) :  N = { 1,2,3,... }
        . 영 : {0}
        . 음의 정수 = 음수(Negative Number) : {-1,-2,-3,...}

     - 분수 (Fraction, 分數, 분율, 分率) : 정수가 아닌 유리수
        . 두 수의 비를 나타냄 
           .. 진분수, 가분수, 번분수 등

     * [참고]  소수 (Decimal, 小數) : 0과 1 사이의 실수를 나타내는 수
        . 유한 소수(Finite Decimal) : ±1/2, ±0.25, ...
           .. 소수점 아래 숫자가 유한 개
        . 순환 소수(Recurring Decimal) : ±1/3, ±0.03333..., ...
           .. 소수점 아래 어떤 자리수부터 같은 수가 무한히 반복되는 무한소수
           .. 무리수도 무한소수(Infinite Decimal)이지만 순환소수는 아님

  ㅇ 무리수 (Irrational Number) :  I
     - 두 정수의 비(比, 분수)로 나타낼 수 없는 수

     - 비순환 무한소수
        . 제곱근 : ±√2 = ±1.4142135... , ±√3, ...
        . 원주율, 삼각함수 값 : ±π,±sin 20˚, ...

  ※ 유리수는 분수로 표시 가능하나, 무리수는 분수로 표시 불가능


3. 실수의 법칙 교환법칙 성립  :  a + b = b + a,  a b = b a
  ㅇ 결합법칙 성립  :  a + (b + c) = (a + b) + c,  a (b c) = (a b) c
  ㅇ 분배법칙 성립  :  a (b + c) = a b + a c,  (b + c) a = b a + c a

  ※ 실수 및 연산들이 서로 엮어지는 성질들을 나타냄


4. 실수계(Real Number System)의 공리적 구성체 공리 (Field Axiom)
     - 실수 원소의 집합연산으로 엮어진 대수적 구조에 관한 공리

  ㅇ 순서 공리(Order Axiom) 또는 순서배열원리(Ordering Principle)
     - 모든 두 실수는 크기 순서로 배열 가능

  ㅇ 선택 공리(Choice Axiom) 또는 완전 정렬성 원리 (Well-ordering Principle)
     - 항상 가장 작은 것이 존재함 또는 선택 가능함

  ㅇ 완비성 공리 (Completeness Axiom)
     - 빈틈이 없음
        . 유리수와 실수를 구분해주는 가장 큰 특징
        . 실수를 이해하려면 극한의 개념이 필요


[수의 구분] 1. 수 구분 2. 수 체계 3. 정수(整數) 4. 유리수,무리수 5. 실수(實數) 6. 복소수 7. 자연수
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