Congruence   합동

(2017-03-22)
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2. 모듈러 연산
3. 동치
4. 쌍대성

     
1. 합동 (合同, Congruence)동등,같음 등을 의미하는 광의의 수학 용어
     - 합동은 `같다` 이상의 광의의 개념으로, 동일한 크기,모양,형태를 갖음을 나타냄
        . 기호로는 `≡` 또는 ``

  ㅇ [기하학]
     - 합동(Congruence) : 크기와 모양이 같으나 위치 만 다름 ( ≡ 또는  )
        . 적당히 이동(등거리 변환)시켜 포개면 정확하게 겹쳐짐
     - 닮음(Similarity) : 같은 모양을 갖지만, 크기가 다름   ( ~  )
        . 서로 대응하는 두 변의 비율이 일정하고, 대응하는 각은 모두 같음
 
  ㅇ [대수학/정수론]
     - 정수(整數)가 일정한 수로 나눈 `나머지`에 만 의존하며 동등함을 나타냄


2. [정수론]  합동

  ※ 19세기초 가우스(Karl Friedrich Gauss,1777~1855)가 최초로 도입한 기호(≡) 및 개념

  ㅇ 합동식 표기 :  a ≡ b (mod m)

     - 위 합동식의 다양한 표현들
        .  `a,b 는 법(法,Modulus) m 으로 하여 합동` 
        .  `a는 법 m으로 하여 b와 합동`
        .  `a를 법 m에 대한 b의 잉여(剩餘)` 
        .  `임의의 정수 b는 {0,1,2,...,m-1} 중의 어느 한 정수와 법 m에 대해 합동`
        .  `a is congruent to b modulo m`
        .  합동 모듈러 m (Congruent Modulo m) (법 m에 관한 합동)

     - 위 합동식의 의미상 동치/동등인 진술들
        . 정수 a,b의 차 (a-b)가 양의 정수 m 으로 나누어 떨어짐
           .. 즉,  m | (a-b)   (☞ 약수 참조)
        . 정수 a,b는 양의 정수 m으로 나누었을 때 같은 나머지 r를 갖음
           .. 즉,  a = p m + r, a = q m + r   (0≤r<m)
        .  a = b + k m  (k: 임의 정수)

  ㅇ 例
     - 例 1) 3  ≡ 24 (mod 7) : 정수 3,24의 차가 7로 나누어 떨어짐
     - 例 2) 42 ≠ 5 (mod 8)  : 정수 42,5의 차가 8로 나누어 떨어지지 않음
     - 例 3) 손목시계,표준시계가 나타내는 시간모듈로 12시간으로하여 합동
     - 例 4) 13 ≡ 25 (mod 12) : 13과 25는 12로 나누면 모두 나머지가 1이므로, 12에 대해 합동


3. [정수론]  합동 연산 관련사항

  ㅇ 주요 성질
     -  a ≡ b (mod n), c ≡ d (mod n) 일 때
        .  a + c ≡ b + d (mod n)
        .  a c ≡ b d (mod n)
     -  a + c ≡ b + c (mod n)  (c는 임의 정수)
     -  a c ≡ b c (mod n)      (c는 임의 정수)
     -  ak ≡ bk (mod n)  (k는 임의 자연수)

  ㅇ 합동식 (Congruence expression)
     - 합동을 나타내는 기호 ≡가 들어있는 식

  ㅇ 합동류 (Congruence class)
     - a가 주어지고 그때의 b의 모든 집합잉여류


[ 합동 ]1. 합동  2. 모듈러 연산  3. 동치  4. 쌍대성  

 
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