Polynomial Ring   다항식 환

(2017-04-17)

모닉 다항식, 원시 다항식, 기약 다항식, 가약 다항식

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2. 정수 환
3. 다항식 환

     
1. 다항식 환(Ring)실수 또는 복소수를 계수로 하고 변수가 하나인 다항식에 대한 추상대수학적 관점

  ㅇ 환 R의 원소들로 계수를 갖는 모든 다항식집합  R[x]
     - 다항식 각 항(term)끼리의 합,곱이 다시 그 집합 위에서 성립되며 환(Ring)을 형성함
        . 이러한 다항식들의 집합환(Ring)을 형성하며, 
        . 각 다항식에서 계수들의 집합도 역시 환(Ring)을 형성 함


2. 다항식환 표현

   

  ㅇ 부정원 x 
     - 부정원(indeterminate : 변수) (환 R의 원소에 속하지 않음)
  ㅇ 계수 a0,...,an 
     -  환 R 에 속하는 원소들로써, 같은 원소가 중복되어도 가능
     -  a0 : 상수항(constant term)
     -  an : 선두계수(leading coefficient) 또는 최고차계수
  ㅇ ai의 첨자(index) 및 xi지수(指數)
     -  i = 0,1,...,n (유한 정수(整數) 이어야 함)
  ㅇ 차수(degree)
     -  x의 최고차 지수/승수/멱(Power)
     -  차수의 표기 : deg [f(x)] 
        . 例) 상수 다항식의 차수 : deg [f(x)=a0] = 0
           .. 환 R의 원소는 사실상 상수 다항식 임
        . 例) 영 다항식의 차수   : deg [0] 은 정의되지 않음


3. 다항식 환 例

  ㅇ ℤ[x] : 정수를 계수로 하고 부정원 x에 대한 다항식 환
  ㅇ ℚ[x] : 유리수를 계수로 하고 부정원 x에 대한 다항식
4. 기타참고사항

  ㅇ 모닉 다항식(monic polynomial)
     - 최고차 항 계수가 1(unity) 인 다항식

  ㅇ 원시 다항식(primitive polynomial)
     
     - 계수 a0,...,an-1최대공약수가 1일 때의 다항식

  ※ 기약(irreducible), 가약(reducible)
     - 기약        : 더 이상 약분할 수 없음
     - 가약        : 그 이상 약분 가능

  ㅇ 기약 다항식 (irreducible polynomial)
     - 지정된 계수 범위에서는 더 이상 인수분해되지 않는 다항식

  ㅇ 가약 다양식 (reducible polynomial)
     - 지정된 계수 범위에서 그 이상 인수분해되는 다항식


[ 환(Ring) ]1. 환(Ring)  2. 정수 환  3. 다항식 환  

 
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