Orthogonal, Orthogonality, Orthogonal Space, Orthogonal Set   직교성, 직교, 직교 공간, 직교 집합

(2017-02-09)

Orthogonal Vector Space, 직교 벡터 공간, Orthogonal Function Space, 직교 함수 공간

기초과학 1. 과학

수학
물리/화학
지구,천체 과학
생명과학
 > 수학기초수학
집합,논리
정수론(수론)
해석학(미적분 등)
대수학
확률/통계
수치해법
 > 대수학 1. 대수학

기초대수학
선형대수학
추상대수학
 > 선형대수학 1. 선형대수

벡터
행렬
벡터 공간
고유값문제
선형변환
직교성,대각화
선형대수 수치방법
 > 직교성,대각화 1. 직교성
2. 대각 행렬
3. 일차,이차 형식
4. 그람 슈미트 직교화 과정

     
기초과학 1. 과학

수학
물리/화학
지구,천체 과학
생명과학
 > 수학기초수학
집합,논리
정수론(수론)
해석학(미적분 등)
대수학
확률/통계
수치해법
 > 대수학 1. 대수학

기초대수학
선형대수학
추상대수학
 > 선형대수학 1. 선형대수

벡터
행렬
벡터 공간
고유값문제
선형변환
직교성,대각화
선형대수 수치방법
 > 벡터 1. 벡터

벡터-기초
벡터의 크기,각도,거리,직교,투영
벡터해석-벡터미적분
 > 벡터의 크기,각도,거리,직교,투영 1. 내적
2. 노름,거리
3. 외적
4. 투영
5. 유클리드 거리
6. 직교
7. 슈바르츠 부등식

     
전자/전기/제어 1. 전기전자공학

디지털공학
신호 및 시스템
회로해석
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 > 신호 및 시스템신호 표현/성질
시스템 표현/성질
신호처리 기초
연산소자
이산신호 및 이산시스템
변환 해석
필터
고속 신호 회로 해석
 > 신호 표현/성질 1. 신호

기초 신호
상관성
평균화
신호의 특성량
신호의 에너지 및 전력
신호 공간
 > 신호 공간 1. 신호공간
2. 성상도
3. 직교성

     
1. 직교성(Orthogonality)

  ㅇ 수학적으로, 각 요소들이 서로 독립적임을 나타내는 용어

  ㅇ 일반적으로, 두 신호/현상 등 간에 관련성이 없음을 의미  ↔  상관성(상관관계)

  ※ [어원/용어] 
     - 그리스어 `orthos` : 곧은(straight),옳은/정확한(right,true),직각을 이루는 등을 의미
     - 직교(直交) : `직각(直角)으로 만나다(交)`의 뜻
     * 직각은 기하학적인 용어이고, 직교는 기하학대수학 등 모두를 포괄하는 광의의 용어


2. 벡터함수에서 직교성 판단벡터 직교성
     -  두 벡터내적(Inner Product/Dot Product)이 `0`
        .  < x,y > = x·y = xTy = 0

  ㅇ 함수 또는 신호 직교성
     - 두 함수를 곱하여 적분한 결과가 `0`
        . 실수 함수
          
        . 복소수 함수
          

     - 유한구간 (a,b)에서의 직교성
        

     * 대표적인 직교성 검토 例) (정현파 신호,복소지수 신호)
        


3. 직교 집합(Orthogonal Set), 직교 공간(Orthogonal Space) 공간, 집합, 생성의 의미 
     - 집합 : 범위가 확정된, 구체적인 대상이 정해진 어떤 요소들의 모음
     - 공간 : 집합의 요소들이 어떤 대수적 구조를 갖는 틀 내에서 그려내는 공간
     - 생성 : 집합이 어떤 규칙에 따라 공간생성함

  ㅇ 직교 집합(Orthogonal Set)
     - 집합 요소들이 서로 직교성을 이룸
        . 例) S = { u1=(1,0,0), u2=(0,1,-1), u3=(0,1,1) }
           .. < u1,u2 > = < u1,u3 > = < u2,u3 > = 0  
           .. 따라서, 집합 S는 직교성이 성립되는 직교집합임

  ㅇ 직교 벡터 공간 (Orthogonal Vector Space)
     - 서로 직교하는 각각의 벡터 성분들의 선형결합으로 생성(Span)되는 공간
        . 벡터 집합 {u1,u2,...} 내의 서로 다른 모든 요소(벡터)들이 모두 직교할 때
           .. 즉,  <ui,uj> = 0   (i ≠ j)

  ㅇ 직교 함수 공간 (Orthogonal Function Space)
     - 기저함수(Basis Function)라고하는 선형 독립 함수들로 생성(Span)되는 공간
        . 함수 집합 {Φ1(x),Φ2(x),...} 내의 서로 다른 요소(함수)들이 구간 (a,b)에서 모두 직교할 때
           .. 즉, 


4. 신호를 직교 집합으로 표현하는 이유

  ㅇ 표현 방식의 단순화 (수학적으로 다루기 편리함)
     - 임의 신호를 직교 파형들의 가중합으로 근사적으로 표현할 수 있기 때문

  ㅇ 시각화 가능
     - 신호공간에서 신호 벡터에 의한 점으로 표현 가능

  ㅇ 선형시스템 응답을 구하는데 편리
     - 전체 시스템응답이 각 개별 입력 응답의 선형결합으로 나타남


5. 분야별 직교성 의미

  ㅇ [신호 해석 분야]  `직교(直交)`
     - 어떤 신호들이 무리를 이루고 있을 때 이 무리에 속한 임의의 두 신호를 선택하더
       라도 이 두 신호가 서로 직교함(독립적임) 
        . 어느 하나의 신호라도 신호 무리들 중 다른 신호들의 결합된 형태로 표현 못함
           .. 직교 신호 例) cos (2πfct) 및 cos (2πfct + 90˚) = - sin (2πfct)

  ㅇ [푸리에 급수]  `신호푸리에급수 표현`
     - 직교기저 함수정현파 또는 지수신호들의 무한 집합을 이용하여 주기신호무한급수 형태로 표현

  ㅇ [통신 변조 분야]  `동위상 (In-phase)` 및 `직교위상 (Quadrature)`
     - 위상이 상호 직각(90˚)으로 직교한다는 의미로써, 
        . 동위상(In-phase) 및 직교위상(Quadrature) 으로 구분
          ☞ 직교위상변조(QM), 복소포락선, 직교위상천이변조(QPSK) 등 참조

  ㅇ [코드 분야]  `직교 코드 (Orthogonal Code)`
     - 서로 다른 코드 사이에 상호상관이 0 인 코드를 말함 ☞ 왈쉬코드(Walsh Code) 참조


[ 직교성,대각화 ]1. 직교성  2. 대각 행렬  3. 일차,이차 형식  4. 그람 슈미트 직교화 과정  
[ 벡터의 크기,각도,거리,직교,투영 ]1. 내적  2. 노름,거리  3. 외적  4. 투영  5. 유클리드 거리  6. 직교  7. 슈바르츠 부등식  
[ 신호 공간 ]1. 신호공간  2. 성상도  5. 직교성  

 
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