Identity Element, Inverse Element, Multiplicative Unity   항등원, 역원, 단위원

(2016-09-01)

Zero Element, 영원

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2. 이항 연산
3. 항등원,역원
4. 교환/결합/분배 법칙
5. 동형사상

     
1. 항등원, 역원

  ㅇ 항등원 (Identity)
     - 집합 내 모든 원소 a가 어떤 연산 *에 대해 다음 조건을 만족하는 원소 e
        .  a * e = e * a = a

     - 보통, e(Einheit,독일어) 또는 i(Identity,영어)로 표기
        . 연산을 해도 변치않는(원래 원소와 그대로 같아지는) 원소

     - 例)  정수 집합 ℤ, 실수 집합 ℝ 에서,
        . 덧셈(+) 연산에 대한 항등원 : 0
        . 곱셈(×) 연산에 대한 항등원 : 1

  ㅇ 역원 (Inverse) 
     - 집합 내 어떤 연산 *에서 각 원소 a에 대해 다음 조건을 만족하는 원소 x
        .  a * x = x * a = e

     - 보통, 덧셈에 대해 -a, 곱셈에 대해 a-1로 표기

     - 例)  정수 집합 ℤ 에서,
        . 덧셈(+) 연산에서 2의 역원 : -2
        . 곱셈(×) 연산에서 1,-1 이외의 모든 다른 원소에서 역원이 없음
           .. 1 x 1 = 1, (-1) x (-1) = 1

     - 例)  실수 집합 ℝ 에서,
        . 덧셈(+) 연산에서 2의 역원 : -2
        . 곱셈(×) 연산에서 0 이외의 모든 원소에서 역원이 존재함
           .. 1의 역원 1, 2의 역원 2-1=1/2, 3의 역원 3-1=1/3 ... 등


2. 덧셈에 대한 영원 (Zero)

  ㅇ 덧셈(+) 연산에서의 항등원을 일컬음
     -  a + 0 = a


3. 곱셈에 대한 단위원, 가역원

  ㅇ 단위원/단원 (Multiplicative Unity, 때론 Identity)
     - 모든 원소 a에 대한 곱셈 항등원
        .  a x u = u x a = a

     ※ 보통, u(Unity) 또는 1 로 표기 

  ㅇ 가역원 (Multiplicative Unit, Invertible) 
     - 곱셈에 대해 역원을 갖을 수 있는 원소
        .  a x a-1 = a-1 x a = u

  ㅇ 例)  정수 집합 ℤ 에서,
     - 2는 곱셈에 대해 역원을 갖지 못하므로 가역원이 아님
        . (즉, 2a=1, a=0.5)
     - 정수집합에서 가역원은 1,-1 뿐임
     - 그러나, -1은 가역원이지만 단위원은 아님 
        . (즉, -1 x 1≠1 )


[ 연산 ]1. 연산  2. 이항 연산  3. 항등원,역원  4. 교환/결합/분배 법칙  5. 동형사상  

 
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