Analytic, Analytic Function, Analysis

(2016-12-27)

Analytic Solution, 해석적 해

1. (수학적) 해석학(Analysis)미분,적분을 공통으로 사용하는 수학 분야를 총칭함
     - 주로, 무한,극한,수렴,근사 등에 대한 논의를 `보다 엄밀하게` 다룸

  ㅇ 주요 분야
     - 함수 해석학 : 함수의 성질을 다루는 수학의 한 분야
        . 주로 함수논리적이고 엄밀하게 다루고 있음
     - 벡터 해석학 : 벡터변수로 갖는 함수에 대한 미적분학
     - 텐서 해석학 : 벡터의 개념을 확장한 기하학적인 양을 다룸
     - 복소변수 해석학 : 복소수 변수함수 및 그 도함수,계산등의 성질을 다룸

  ※ 대수학(Algebra),기하학(Geometry)과 함께 수학의 중요한 분야로 다뤄짐


2. 어떤 함수를 해석적 이라고 한다면?

  ㅇ 해석적 (Analytic)
     ① 무한번 미분가능
        . 함수 f가 어떤 점 x0에서 해석적이려면,
        . 적어도 f가 x0에서 무한번 미분가능(도함수를 갖음)하여야 함
           .. 그러나, 무한번 미분가능하다고 꼭 해석적인 것은 아님
     ② 국소적(어떤 점 근방에서)으로 멱급수수렴가능
        . 함수 f(x)가 x0를 포함하는 열린구간에서 멱급수로 표현 가능할 때
          ,
        . f(x)를 x0에서 해석적이라고 함

     * 라그랑주(Joseph Louis Lagrange,1736~1813)의 `해석적`에 대한 제안
        . 모든 함수를 무한번 미분가능하고, 멱급수로 전개 가능하다고 가정하였음
        . 이러한 특징을 갖는 함수를 오늘날 해석 함수라고 불려지고 있음

  ㅇ 해석 함수 (Analytic Function)
     - 무한번 미분가능하고, 국소적으로 수렴하는 멱급수로 나타낼 수 있는 함수

  ㅇ 전 해석함수,정함수 (Entire Function)
     - 정의역 전체에서 해석적인 함수

  ㅇ 특이점 (Singular Point)
     - 함수가 해석적이지 못한 점


3. 해석적 해(Analytic Solution) = 닫힌 형태(Closed-form)의 해

  ㅇ 해석적 풀이
     - 이미 확립된 해법을 이용하여 해석적으로 정확한 해를 구하는 방법

  ㅇ 어떤 미분방정식의 해가 해석적이라고 한다면,
     - 그 미분방정식을 만족하는 구체적인 함수를 제시할 수 있어야 함
        . 이때의 해를 닫힌 형태의 해(Closed-form solution)라고 함

  ㅇ 그러나, 대부분의 비선형 미분방정식이나 변수계수 미분방정식 풀이가 해석적 해를
     얻을 수 없음
     - 이 경우에, 컴퓨터에 의해 수치적인 결과 해 만을 구한다면,
        . 이는 수치해석적 방법(Computational Method) 이라고 함


[미분]1. 미분,미분가능,변화율  2. 도함수  3. 미분공식  4. 해석적  5. 라이프니츠 법칙  
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   정수론(수론)
      4.   해석학(미적분 등)
            1. 해석학
        1.   미분적분
              1. 미분적분학
          1.   함수
          2.   극한,연속,기울기
          3.   미분
                1. 미분,미분가능,변화율
                2. 도함수
                3. 미분공식
                4. 해석적
                5. 라이프니츠 법칙
            1.   다변수함수 미분
          4.   적분
          5.   직선,곡선,곡면
          6.   미분적분 응용
        2.   미분방정식
      5.   대수학
      6.   확률/통계
      7.   수치해법
    2.   물리/화학
    3.   지구,천체 과학
    4.   생명과학
  3.   파동/광학/음향
  4.   방송/멀티미디어/정보이론
  5.   전자/전기/제어
  6.   통신/네트워킹
  7.   정보기술(IT)
  8.   기계/재료/공업일반
  9.   표준/계측/품질
  10.   기술경영

 
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