Similarity Matrix   닮음 행렬, 닮은 행렬

(2017-02-09)

Similarity, 닮음

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선형변환
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선형대수 수치방법
 > 고유값문제 1. 고유값 문제
2. 고유값,고유벡터
3. 고유 공간
4. 고유 함수
5. 닮음 행렬
6. 대각화
7. 특성 방정식
8. 거듭제곱법

     
1. 합동(Congruence), 닮음(Similarity) 의미

  ㅇ 유사함을 의미하는 기하학적 용어

     - 합동 : 크기와 모양이 똑같으나, 위치 만 다름 ( ≡ )
        . 적당히 이동시켜 포개면 정확하게 겹쳐짐

     - 닮음 : 같은 모양이지만, 크기가 다름   ( ~  )
        . 서로 대응하는 길이 비율이 일정하고, 대응하는 각은 모두 같음

        . 例) 삼각형 닮음에 대한 등가조건 셋
           .. 세 변의 길이가 모두 같음
           .. 두 변의 비와 그 사이 각이 같음
           .. 두 각이 같음

        . 例) 모든 원은 서로 닮은 도형이며, 특히 길이가 같은 두 원은 합동 임

  ㅇ `확률변수/신호/함수/현상 (변량)` 간에 닮음의 수치화(정량화)  ☞ 상관성 참조


2. 행렬에서의 닮음(Similarity) 이란?

  ㅇ 닮음 행렬
     - (n x n)인 두 정방행렬 A,B 가 있을 때, 
        . B = P-1 A P 또는 P B = A P 인 정칙행렬(가역행렬) P 가 존재하면, 
           .. 행렬 A,B 는 닮은 행렬 임

  ㅇ 닮음 변환,닮은 변환 (Similarity Transformation)
     - 행렬 A 를 P-1 A P 로 변환하는 것
        .  T(A) = P-1 A P


3. 닮은 행렬 성질행렬식이 같음 
     -  det(A) = det(B)

  ㅇ 랭크가 같음
     -  rank(A) = rank(B)

  ㅇ 해공간 차원이 같음
     -  동차 방정식  A x = 0, B x = 0 의 해공간 차원이 같음

  ㅇ 특성방정식고유값이 같음
     -  (n x n) 행렬 A,B 가 닮음 행렬이면, 
        . 두 행렬특성다항식고유값이 같고, 
           .. 이 때의 중복도(Multiplicity)도 같음


4. 직교 닮음 행렬 (Orthogonal Similarity Matrix)

  ㅇ (n x n)인 두 정방행렬 A,B 가 있을 때, 
     - B = PT A P 인 직교행렬 P 가 존재하면, 
        . 행렬 A,B 는 직교 행렬 이며 동시에 닮은 행렬
5. 대각화 가능 행렬 (Diagonalizable Matrix)대각행렬과 닮은 행렬일 때를 말함
     -  D = P-1 A P 또는 A = P-1 D P 를 만족하는
        가역행렬 P 및 대각행렬 D 가 존재함
        . 이때, 대각행렬 D와 닮은 정방행렬 A는 대각화가능(Diagonalizable)이라고 함


[ 고유값문제 ]1. 고유값 문제  2. 고유값,고유벡터  3. 고유 공간  4. 고유 함수  5. 닮음 행렬  6. 대각화  7. 특성 방정식  8. 거듭제곱법  

 
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