Eigenvalue, Eigenvector, Eigenvalue Equation   고유치, 고유 값, 고유 벡터, 고유값 방정식

(2017-05-10)

Chracteristic Vaue, 특성 값, Chracteristic Root, 특성 근

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7. 특성 방정식
8. 거듭제곱법

     
1. 고유값(Eigenvalue) 및 고유 벡터(Eigenvector)

  ㅇ `Eigen` 이란?
     - 독일어 형용사로써, `고유의` 또는 `특성의` 등의 뜻을 갖으며,
        . 고유 값, 고유 벡터행렬선형성에 관한 본질적 정보를 가지고 있음을 뜻함

  ㅇ 선형방정식 A x = λ x (A: n x n 행렬,λ: 스칼라)를 만족하는 0 이 아닌 벡터 x 가 존재하면,

     -  상수배(常數倍)하는 λ를, `고유값(Eigenvalue)`이라하고, 
     -  이 때의 벡터 x는, 고유값 λ에 대응하는 `고유벡터(Eigenvector)`라고 함
     -  위 선형방정식 A x = λ x 를, `고유값 방정식(Eigenvalue Equation)`라고 함
     -  행렬 A는, `시스템 행렬`, `선형변환(행렬변환) 연산자` 등으로 일컬어짐
     -  한편, 행렬 A의 고유값들의 집합스펙트럼 이라고도 함


2. 고유값, 고유 벡터 例)

     


3. 기하학적 의미

  ㅇ 길이 늘림 (스칼라 곱셈)
     - A x = λ x 에서 주어진 정방행렬 A를 벡터 x에 곱하는 효과가, 
        . 스칼라 λ를 벡터 x에 곱하는 것과 같은 효과(상수배 길이 늘림)를 갖음
        . 원래의 벡터 x와 평행을 유지함

  ㅇ 변환 (Transformation)
     - TA(x) = A x라는 선형변환 TA이 고유벡터 x에 가해질 때,
        . 벡터 x를 방향이 아닌 크기 만 λx로 바뀌게 함 
        . 벡터 x를 0이 아닌 평행인 벡터 λx로 대응시킴

  ㅇ 사상 (寫像)
     - 벡터 x를 원점을 지나는 직선 위에 사상(寫像)시킴
     


4. 물리적 의미선형시스템에서 고유값이 될 수 있는 물리량으로는, 
     - 그 선형성을 특징적으로 유지하는 해(解)로써,
        . 주파수,에너지 등일 수 있음


5. 고유값 필요충분조건

  ㅇ A x = λ x 에서 λ가 A의 고유값이 될 필요충분조건
     - 자명하지 않는 해(0 이 아닌 해)를 갖을 것
     - 행렬 (A - λI) 가 특이행렬(비정칙 행렬)이 될 것
        . 즉, det (A - λI) = 0
           .. λ가 위 특성방정식근(根)이 되는 것

  ※ 이로부터, 행렬 A가 주어질 때, 고유값 λ를 구할 수 있음


6. 고유값 문제

  ㅇ A x = λ x를 만족시키는 고유값 λ에 대해 0 이 아닌 벡터를 찾는 것 
     - 단계1: 행렬 (A - λI)를 비정칙행렬이 되게하는 모든 고유치 λ를 구함
     - 단계2: 각 λ에 대해 (A - λI) x = 0를 만족하는 0 이 아닌 고유벡터 x를 구함 


7. 고유벡터들간의 일차독립

  ㅇ 각 고유값 λi에 대응하는 고유벡터 xi들로 이루어진
     { xi, x2, ... , xn } 은 일차독립이 됨


8. 주요 용어행렬 A의 특성방정식    :  D(λ) = det (A - λI) = 0

  ㅇ 특성다항식             :  다항식 D(λ) = det (A - λI)

  ㅇ 고유값 또는 특성값     :  위 특성방정식의 해 λ

  ㅇ 대수적 중복도(Algebraic Multiplicity) : 특성방정식 중복 근을 나타내는 정수 mi
     

  ㅇ 고유벡터 또는 특성벡터 :  그 고유값에 대응하는 자명하지 않는 해 벡터

  ㅇ 고유공간               :  그 고유값에 대응하는 자명하지 않는 모든 해 집합
     - 각 고유값 λi에 대응하는 고유벡터 xi는 무수히 많음


[ 고유값문제 ]1. 고유값 문제  2. 고유값,고유벡터  3. 고유 공간  4. 고유 함수  5. 닮음 행렬  6. 대각화  7. 특성 방정식  8. 거듭제곱법  

 
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