Elementary Matrix, Elimination Matrix   기본 행렬, 소거 행렬

(2015-06-29)

행 교환, Row Exchange, 행 교체, Row Substitution

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1. 기본 행렬(Elementary Matrix)항등행렬 In에 한 번의 기본 행 연산을 수행하여 얻어진 행렬
     -  In -- (1회 기본행연산) -→ E

       
 

2. 기본행렬 및 기본행연산 관계

  ㅇ 3가지 주요 형태 
     -  ① 행 교환 (Row Exchange) = 치환행렬
     -  ② 행 상수배
     -  ③ 행 교체 (Row Substitution)
     

  ㅇ 임의행렬에다가 기본행렬을 왼쪽에 곱하면 기본행연산이 수행됨
     - 例) 


3. 소거 행렬(Elimination Matrix)

  ㅇ 기본행렬 중 행 교체를 수행하는 행렬

     - 항등행렬 In의 (i,j)번째 항에 `0` 대신에 기본행연산을 위한 
       승수 -lij = aij/aii을 갖게되는 정방행렬 Eij
        . 즉, Eij A 이면, 이는 행렬 A를 j번째 행에 lij를 곱한 것을
          i번째 행에서 빼서 얻게되는 행렬이 됨

  ㅇ 例) 


4. 기본행렬 성질

  ㅇ 기본행렬을 왼쪽에 곱하면 기본행연산이 수행됨 : E A
     - Ek Ek-1 ... E2 E1 A = B  (A,B는 행동치)
        . 이를 기본행렬 역행렬들의 곱으로 나타낼 수 있음
           .. A = E1-1 E2-1 ... Ek-1-1 Ek-1 B  (A,B는 행동치)

  ㅇ 기본행렬은 역행렬을 갖음 (즉, 가역행렬 임)
     -  E E-1 = In
        

     - 여기서, 기본행렬의 역행렬도 역시 기본행렬이 됨을 알 수 있음

  ㅇ 모든 가역행렬은 기본행렬 역행렬들의 곱으로 나타낼 수 있음
     -  (E1 E2 E3) A = A (E3-1 E2-1 E1-1) = A E-1 = A A-1 = In가역행렬 A을 단위행렬 In으로 만드는 과정을 역으로하면 역행렬 A-1을 얻음
     - E A = In → E In = A-1


[ 행렬응용 ]1. 선형 연립 방정식  2. 기본 행 연산  3. 기본 행렬  4. 행 사다리꼴  5. 가우스 소거법  6. 추축  7. 계수행렬,첨가행렬  8. 커널  

 
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