단순 조화 운동방정식, 비감쇠 조화 운동방정식

(2018-04-13)

조화진동 운동방정식, 조화운동 운동방정식, 조화 진동 방정식

1. (단순) 조화진동 운동방정식 표준형2차 시스템(2계 미분방정식) 형태를 띔  
     
     - 가속도 항(2차 미분항) : 
        . (시간 t의 함수인 Ψ는, 시간 t에 대해 2회 미분하면,
           원래 함수 Ψ의 -ωo2가 되는 함수o2Ψ로써,
           이러한 성질을 만족하는 함수로는 `고유함수`가 있음)
     - 감쇠 항(1차 미분) : `없음`
        . (위 식에서 이 항이 없으므로, `비감쇠 자유진동`을 의미함)
     - ωo : 자연주파수
     - Ψ : 변위

  ※ 위 식을 단순조화 미분방정식 이라고도 함
     - 시간에 대해 사인함수 또는 코사인함수 처럼 주기운동 표현에 주로 나타남


2. (단순) 조화진동 운동방정식 표현 例)

   운동방정식 유도 (후크의 법칙뉴튼의 운동법칙)
     
     
      -  m : 질량(Mass) [kg]
      -  k : 스프링상수 또는 탄성계수 또는 강성도
      -  ωo = √k/m : 비제동 자연주파수(Undamped Natural Frequency) [rad/sec] 


3. (단순) 조화진동 운동방정식 특징선형 복원력을 받는 질량진동
     - 의 크기 : 평형점으로부터 변위에 비례하는 을 받음
     - 의 방향 : 변위에 반대방향 => (항상 평형점을 향함)
     * 변위가 커질수록 그 반대 방향으로의 이 커짐

  ㅇ 두 요소가 결합된 진동
     - 관성 요소 : 관성 질량 m  (운동에너지를 저장 및 방출)
     - 탄성 요소 : 스프링 같은 탄성체 (위치에너지를 저장 및 방출)
        . 위치에너지 : 스프링 같은 탄성체를 변형시키는데 소요된 일

  ㅇ 가속도    : 변위에 비례적이나, 방향이 반대방향 
     - (즉, 변위 보다 위상차가 180˚ 빠름)
     -  F = -kx = ma 에서  a = -(k/m)x 

  ㅇ 속도      : 변위가 0 일 때 가장 크고, 변위가 가장 클 때 0 이됨
     - (즉, 변위 보다 위상차가 90˚ 빠름)

  ㅇ 만일, k(탄성계수)가 감소하거나 m(질량)이 증가하면, 
           자연주파수(고유 진동수)도 감소하게 됨
     -  ωo = √k/m


4. (단순) 조화운동 운동방정식(미분방정식)의 해(解)미분방정식보조방정식(특성방정식)
     - λ2 + 0 λ + ωo2 = 0
        . 보조방정식(특성방정식) :  선형 동차 미분방정식 해와 관련된 대수적 방정식
        . 보조방정식 근(根) : λ=±jωo미분방정식일반해
     -   x(t) = A cos ωot + B sin ωot
              = C sin (ωot + φ)
        . 변위시간의 조화함수(사인 또는 코사인함수)로 표현됨

  ㅇ 2개의 미지의 상수가 있음
     -  A : 코사인함수 진폭, B  : 사인함수 진폭
     -  또는,  C : 진폭변위, φ : 위상편이

  ㅇ 만일, 초기조건 x(0)=xo, x'(0)=vo 이 주어지면,
     -   x(t) = xo cos ωot + (voo) sin ωot


5. (단순) 조화운동 운동방정식 해(解)의 모양

   


[진동(조화운동)] 1. 단순 조화진동 2. 조화진동 3. 단조화 운동방정식 4. 기본 주파수 5. 결합(Coupling) 6. 결합 진동 7. 맥놀이 8. 비감쇠 자유 진동 9. 다 자유도 계 10. 모드 해석
  1.   기술공통
  2.   기초과학
  3.   진동/파동
    1.   진동
          1. 진동
          2. 진동 용어
      1.   진동(조화운동)
        1.   1. 단순 조화진동
            2. 조화진동
            3. 단조화 운동방정식
            4. 기본 주파수
            5. 결합(Coupling)
            6. 결합 진동
            7. 맥놀이
            8. 비감쇠 자유 진동
            9. 다 자유도 계
            10. 모드 해석
      2.   진동(감쇠진동)
      3.   진동(공진)
      4.   진동계 例
    2.   파동
    3.   광파(빛)
    4.   음파(소리)
    5.   탄성파(지진)
  4.   방송/멀티미디어/정보이론
  5.   전기전자공학
  6.   통신/네트워킹
  7.   정보기술(IT)
  8.   공업일반(기계,재료등)
  9.   표준/계측/품질
  10.   기술경영

 
        최근수정     요약목록     참고문헌